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文章目录I . 规划问题II . 线性规划示例III . 线性规划数学模型三要素IV . 线性规划数学模型一般形式V . 线性规划数学模型向量形式VI 线性规划数学模型矩阵形式I . 规划问题 规划问题 概念 : 在 生产 和 经营管理中 , 合理地 安排 人力 , 物力 , 资源 , 使它们能够得到充分利用 , 以达到获得最大的效益 ; 线性规划问题 : ① 减小资源消耗 : 任务 和 目标确定 , 统筹兼顾 , 合理安排 , 用最少的资源完成上述任务和目标 ; 资源包括 资金 设备 原料 人力 时间 等 ;② 获得最大效益 : 资源是固定的 , 进行合理安排 , 获得最大的效益 ;II . 线性规划示例某工厂生产 甲 , 乙 两种产品 , 分别要使用 A , B , C , D 四种设备进行加工 , 按照工艺流程规定 , 每种产品 在不同设备上加工所需的时间如下表所示 , 如何安排生产 , 使总利润最大 ; 设备 A 设备 B 设备 C 设备 D 利润 产品甲 2 1 4 0 2 产品乙 2 2 0 4 3 设备有效台时 12 8 16 12 线性规划分析 : 1. x_1是产品甲的生产数量 , x_2是产品乙的生产数量 ; 2. 利润 : 甲乙两种产品的利润之和 , 产品甲 2 元 , 产品乙 3 元 , 利润要达到最大化 ; max Z = 2x_1 + 3x_23. 设备 A的限制 : 设备 A最多使用 12 小时 , 两种产品的使用时间不能超过 12 小时 ; 2x_1 + 2x_2 \leq 124. 设备 B的限制 : 设备 B最多使用 8 小时 ; x_1 + 2x_2 \leq 85. 设备 C的限制 : 设备 C最多使用 16 小时 ; 4x_1 \leq 166. 设备 D的限制 : 设备 D最多使用 12 小时 ; 4x_2 \leq 127. 甲乙两种产品数量的限制 , 两个产品的数量必须大于等于 0 ; x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0按照上述条件 , 计算出 Z的最大值 , 就是生产甲乙两种产品的最大利润 ; III . 线性规划数学模型三要素线性规划数学模型三要素 : ( 1 ) 决策变量 : 上述 产品甲乙 的个数 x_1 , x_2就是决策变量 , 直接关系到利润的多少 ; ( 2 ) 目标条件 : 多个决策变量的线性函数 , 通常是求 最大值 或 最小值 问题 ; 上述示例中的 max Z = 2x_1 + 3x_2就是目标条件 ; ( 3 ) 约束条件 : 一组多个 决策变量 的线性等式 或 不等式 组成 , 如上述 3 ~ 7 的四种设备的使用时间限制 和 决策变量的取值范围 ;IV . 线性规划数学模型一般形式目标函数 : max (min) z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n约束条件 : \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n & \leq ( = \cdot \geq) & b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n & \leq ( = \cdot \geq) & b_m \\ \\ \\x_1 \geq 0 \cdots x_2 \geq 0 \end{cases}上述线性规划中 , 有 n个决策变量 , m个约束条件不等式 ; 简写形式 : 有 n个变量 , m个约束不等式 ; \begin{array}{lcl}max (min) z = \sum_{j=1}^{n}c_j x_j\\ \\ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \leq ( = \cdot \geq) b_i & (i = 1 , 2 \cdots m) \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{array}V . 线性规划数学模型向量形式向量形式 : max ( min ) z = CX\begin{cases} \sum p_j x_j \leq ( = \cdot \geq ) B\\ \\ X \geq 0 \end{cases}公式相关说明 : 1. 矩阵 C是 1行 n列矩阵 , 是一个 1 \times n矩阵 ; 该矩阵的元素是 目标条件中 决策变量的系数 ; C = \begin{bmatrix} c_1 , c_2 \cdots c_n\end{bmatrix}2. 矩阵 X是 n行 1列 的矩阵 , 是一个 n \times 1矩阵 ; 该矩阵的元素是决策变量 ; X = \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}3. 矩阵 P_j是 m行 1列 的矩阵 , 是一个 m \times 1矩阵 ; 该矩阵的元素是 第 j个约束条件的 m个决策变量前的系数 ; P_j = \begin{bmatrix}a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}4. 矩阵 B是 m行 1列 的矩阵 , 是一个 m \times 1矩阵 ; 该矩阵的元素是 第 j个约束条件的 m个 右侧的不等式约束值 ; B = \begin{bmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}VI 线性规划数学模型矩阵形式矩阵形式 : max ( min ) Z = CX\begin{cases} \sum AX \leq ( = \cdot \geq ) B\\ \\ X \geq 0 \end{cases}公式相关说明 : 1. 矩阵 C是 1行 n列矩阵 , 是一个 1 \times n矩阵 ; 该矩阵的元素是 目标条件中 决策变量的系数 ; C = \begin{bmatrix} c_1 , c_2 \cdots c_n\end{bmatrix}2. 矩阵 X是 n行 1列 的矩阵 , 是一个 n \times 1矩阵 ; 该矩阵的元素是决策变量 ; X = \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}3. 矩阵 A是 m行 n列 的矩阵 , 是一个 m \times n矩阵 ; 该矩阵的 i行 j列 元素 代表 第 i个约束条件的 j个决策变量前的系数 ; A = \begin{bmatrix} &a_{11} & \cdots & a_{1n} & \\ &\vdots & \vdots & \vdots & \\ &a_{mj}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}4. 矩阵 B是 m行 1列 的矩阵 , 是一个 m \times 1矩阵 ; 该矩阵的元素是 第 j个约束条件的 m个 右侧的不等式约束值 ; B = \begin{bmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} |
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