线性代数的学习和整理14: 线性方程组求解的3种方法，重点讲矩阵函数求解

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线性代数的学习和整理14: 线性方程组求解的3种方法，重点讲矩阵函数求解

2024-07-01 02:50| 来源: 网络整理| 查看: 265

0 写在前面的一些内容

0.1 学习心得：

0.2 参考其他书籍总结的知识点，对照学习

1 线性方程组求解

1.1 常见的线性方程组如下

1.2 记住常见的矩阵函数的维数的关系

1.3 需要求解的方程组和矩阵的对应关系，需要先厘清

1.3.1 如果只需要求解x，是类 Ax=b的形式

1.3.2 如果是x,y的联立方程组，是类 Ax=y的形式

1.4 方程组的解的可能有这几种情况：

1.5 线性方程组的解的几何情况（用3元线性方程组举例）

2 线性方程组的多种解法（至少这里有3种）

2.1 方法1：消元法/高斯消元法

2.2 方法2：根据克拉默法则用行列式求解

2.3 还一个扩展问题：如果方程组太多了，比变量还多怎么办?

2.4 有没有更简便的求解方程组的解的方法呢?

2.4.1 可以快速确定是否有解，解的个数

2.4.2 还可以解出具体的解

3 线性方程组用矩阵函数求解

3.1 线性方程组转化为矩阵函数形式

3.2 如何从矩阵的角度看，是否有解？

3.2.1 从函数和映射的角度看解的情况

3.2.2 那么从矩阵函数的角度看呢

4 齐次线性方程组 & 非齐次线性方程组

4.1 线性方程组分类

4.2 零空间 null(A)

5 齐次线性方程组 Ax=0 求解

5.1 用矩阵方法求解

5.2 如果直接用解方程的方法求解

6 非齐次线性方程组 Ax=b 求解

6.1 用矩阵方法求解

6.2 如果直接用解方程的方法求解

7 秩零定理

0 写在前面的一些内容 0.1 学习心得：在学习过程中，确实会遇到不懂得，像我这种喜欢追问的，遇到不懂的问题，还会继续追问挖起一串。但是这时候就要想到“学而不思则罔，思维不学则殆”。不要因此偏离了主要方向和过于浪费时间应该，先了解，知识里现在的内容是“怎么样的”也就是“怎么展开的，这个逻辑梳理清楚”，学到一定阶段了再回头去思考之前没搞懂的问题。弄清楚了“怎么是这样” ，再去思考“为什么”，后来再回头看有疑问的效率会高很多。这也是一种分步骤思考问题的严密逻辑问题从哲学上说，人的思考绝对不可能从绝对的起源点开始，只能是在一些相对的中间节点出发，当做起点起推导

0.2 参考其他书籍总结的知识点，对照学习

1 线性方程组求解 1.1 常见的线性方程组如下

如下图的线性方程组，如何求解呢？

$\left\{\begin{matrix} a11*x1+a12*x2 =b1\\ a21*x1+a22*x2 =b2\\ a31*x1+a32*x2 =b3 \end{matrix}\right.$

或者可以变形为这样

$\left\{\begin{matrix} a11*x1+a12*x2 -b1 =0\\ a21*x1+a22*x2 -b2 =0\\ a31*x1+a32*x2-b3 =0\end{matrix}\right.$

1.2 记住常见的矩阵函数的维数的关系 Ax=y记住常见的矩阵函数的维数的关系，对于理解矩阵函数求解很重要矩阵Am*n，而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm] 矩阵A是 m*n（有可能没满秩）自变量X的维度是n, Xn*1=[x1,x2....xn] 因变量y(或b)维度是m ，Ym*1= bm*1=[b1,b2....bm] $\begin{bmatrix} a11 &a12&...&a1n\\ a21 &a22&...&a2n\\ ... &...&...&...\\ am1 &am2&...&amn\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x1\\ x2 \\ ... \\ xn \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b1\\ b2\\ ...\\ bm \end{bmatrix}$

1.3 需要求解的方程组和矩阵的对应关系，需要先厘清 1.3.1 如果只需要求解x，是类 Ax=b的形式 Ax=b因为这里只是多个一元方程组，所以可以这么算要注意，矩阵Am*n * 列向量Xn*1得到的是 b m*1的列向量其中列向量X的维度是n而列向量b 的维度是m $\begin{bmatrix} a11 &a12&...&a1n\\ a21 &a22&...&a2n\\ ... &...&...&...\\ am1 &am2&...&amn\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x1\\ x2 \\ ... \\ xn \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b1\\ b2\\ ...\\ bm \end{bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} a11*x1+a12*x2 =b1\\ a21*x1+a22*x2 =b2\\ a31*x1+a32*x2 =b3 \end{matrix}\right.$ x1,x2 但是 b1,b2,b3

1.3.2 如果是x,y的联立方程组，是类 Ax=y的形式 Ax=y因为联立二元方程组，需要同样多的x和y必须要求矩阵是A nn，也就是矩阵A必须是方阵要注意，矩阵Ann * 列向量Xn1得到的是 b n1的列向量其中列向量X的维度是n而列向量y/b的维度是n $\begin{bmatrix} a11 &a12&...&a1n\\ a21 &a22&...&a2n\\ ... &...&...&...\\ an1 &an2&...&ann\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x1\\ x2 \\ ... \\ xn \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b1\\ b2\\ ...\\ bn \end{bmatrix}$ $\left\{\begin{matrix} a11*x1+a12*x2+a13*x3 =y1\\ a21*x1+a22*x2+a23*x3 =y2\\ a31*x1+a32*x2+a33*x3 =y3 \end{matrix}\right.$ x1,x2,x3 同时 y1,y2,y3

1.4 方程组的解的可能有这几种情况：无解有解无数解唯一解

1.5 线性方程组的解的几何情况（用3元线性方程组举例）

比如3元线性方程组，其解其实就是这3根直线的交点，就是解

无解的情况无解：三线平行无解：三线不相交于一点有解有唯一解：三线相交于一点有无数解：三条线重叠

2 线性方程组的多种解法（至少这里有3种）消元法求解行列式求解矩阵函数求解

2.1 方法1：消元法/高斯消元法消元法，就是普遍知道的解方程的方法问题是，当线性方程组的变量元越多，方程组越多，就会越复杂。。。

2.2 方法2：根据克拉默法则用行列式求解

理论上根据克拉默法则，下面这些都可以直接用克拉默法则求解

2阶的线性方程组3阶的线性方程组4阶的线性方程组 .....但是实际上，高阶的行列式求解也够复杂。。。

2.3 还一个扩展问题：如果方程组太多了，比变量还多怎么办?

我们解题时，往往是方程组和变量元，刚刚好一样多，但是现实中，往往不是信息太少，就是信息太多

如果信息太少，如方程组里的方程数量太少：无法求解如果信息太多，方程组里的方程数量多于变量，甚至远多于，该怎么办？这可能就需要用到线性回归了， y=ax+b+ε 因为信息量太多，能求出很多组解开，但是不能求准确解，而是要求近似解而让ε 足够小，就可以求出尽量最近似的解

2.4 有没有更简便的求解方程组的解的方法呢?

答案是有的

2.4.1 可以快速确定是否有解，解的个数提前给结论，具体的内容在下面对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解对于线性方程组 Ax=b，如果系数矩阵A和秩 = 增广矩阵B（B=A|b）的秩，并且 rank(A) =rank(B)=n ，就有唯一解rank(A) =rank(B)

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