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【博弈论】纳什定理及其证明
一、纳什定理的内容
二、布劳尔不动点定理的内容
三、纳什定理的证明
一、纳什定理的内容
定理内容：若允许玩家采用混合策略，则任何有限博弈均存在一个纳什均衡。
有限博弈的含义是玩家个数有限并且玩家的动作空间有限。满足上述条件的博弈中，至少存在一个混合策略纳什均衡（纯策略纳什均衡可看作特例）。
非有限博弈不一定存在纳什均衡（不是一定不存在）。举例说明：两个人玩游戏，每人从 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]中选数字比大小，大者获胜。这就是一个非有限博弈，但纳什均衡存在即每个人都选择 1 1 1。如果动作空间改成 [ 0 , 1 ) [0,1) [0,1)，那么这个非有限博弈就不存在纳什均衡（两个人选择逼近 1 1 1的数时，总会有一个更大的数使其获得更高的收益）。
二、布劳尔不动点定理的内容
定理内容：在欧式空间中，给定任意的凸紧集 K K K，任何从 K K K映射到其自身的连续函数 f : K → K f:K\rightarrow K f:K→K，都存在至少一个不动点，即 ∃ x ∈ K \exist x\in K ∃x∈K使得 f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x。
人大高瓴的沈老师给出了一个特别形象的解释：将校园地图放在校园内部的任意一个角落里（假设校园是个凸紧集），那么地图上必定至少存在一个点使得该点与所代表的实际位置重合。
三、纳什定理的证明
证明思路：1.构造某个具有特殊性质的连续函数；2.应用布劳尔不动点定理证明其存在不动点；3.证明该不动点就是纳什均衡。（因为一定存在不动点，故一定存在纳什均衡）
对任意的策略组合 s s s，令 c i ( s ; a i ) = m a x { 0 , u i ( a i , s − i ) − u i ( s ) } c_i(s;a_i)=max\{0,u_i(a_i,s_{-i})-u_i(s)\} ci(s;ai)=max{
0,ui(ai,s−i)−ui(s)} 定义函数 f f f是两个策略组合之间的映射 f ( s ) = s ′ f(s)=s' f(s)=s′ 其中对于 s ′ s' s′中的每个玩家 i i i的每个动作 a i a_i a
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