数学实验报告2 圆周率的计算 mathematica

数学实验报告

实验序号： 2 日期： 2016年 月 日

班级 实验 名称 姓名 圆周率π的计算 学号 问题背景描述： 圆周率是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究。回顾历史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定程度上反映着这个地区或时代的数学水平。德国数学家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。” 实验环境： 学校机房、Mathematica4.0软件、PrintScreen软件 实验目的： 首先在Mathematica环境中用多种方法计算圆周率?的值，通过实验来体会各种方法的区别，比较各种方法的优劣，接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率?的值。 实验理论基础和方法： 1.用Mathematica绘图函数Plot绘制圆周率?； 2.运用数值积分法计算圆周率： 利用半径为1的单位圆的面积等于?来求解圆周率； 3.利用泰勒级数法计算?： 2k?1x3x5k?1x????(?1)?? 利用反正切函数的泰勒级数arctanx?x?352k?14. 蒙特卡罗法计算? １

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实验结果报告及实验总结： 一、数值积分法计算? 因为单位圆的半径为1，它的面积等于?，所以只要计算出单位圆的面积，就算出了?。在坐标轴上画出以圆点为圆心，以1为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一个扇形，而且面积是单位圆的1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出?。而且单位的精度可能会影响计算的结果，下面将给出不同的n计算所得结果并讨论差异。 1. 当n=1000时 命令： n=1000;y[x_]:=4/(1+x*x); s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n; s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; 结果如下： 2. 当n=5000时 命令： n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x); s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n; s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; 运行结果: ３

3.当n=10000时 命令: n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x); s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n; s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/(6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}] 运行结果： ４

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