素数定理

约定. 在本文中,

素数定理刻画了自然数中素数的渐近分布, 其中一种形式为:π(n)∼lognn​.简单来说, 随着自然数变大, 其中的素数越来越稀疏, 并且密度以对数衰减.

素数的分布也是解析数论研究的核心课题之一.

自 Euler 在 1737 年发现了著名的 Euler 乘积形式, 即ζ(s)=n=1∑∞​ns1​=p∏​1−p−s1​,人们对素数的定量研究正式宣告开始, 解析数论的萌芽出现. 尽管素数定义简单, 有关的代数结论形式优美, 但人们发现讨论其分布绝非易事. 在 Euler 的发现大约 60 年后,Gauß 和 Legendre 对小素数进行仔细的数值计算, 提出了广为人知的 π(x)∼x/logx. 大约 1850 年,Chebyshev 用初等方法证明了 π(x) 的可以被 x/logx 的两个常数倍控制, 首次证明了正确的阶, 而且他也指出如果 π(x)logx/x 的极限存在, 那么必然为 1 , 他给出的界已经足够好, 以至能证明 1845 年 Bertrand 提出的 Bertrand 假设: 即区间 [n,2n] 中总存在素数.

1859 年,Riemann 关于 ζ 函数的重要论文发表, 其中指出了 Gauß 和 Legendre 猜想的关键证明步骤. 直到 1896 年, 其中的技术细节被 Hadamard 和 de la Vallée Poussin 独立完成, π(x)∼x/logx 的正确性得到证实. 二人证明的主要工具都是复分析, 皆对 ζ 函数的非平凡零点分布给出了粗略估计.

到了 20 世纪, 素数定理越来越多的新证明出现. 其中值得一提的是 Selberg 和 Erdős 在 1949 年给出的 “初等” 证明. 另外随着 Tauber 方法的出现和发展, 定理的证明也变得更加简洁. 1980 年 Donald J. Newman 也给出了一个近乎只用到 Cauchy 积分公式的证明, 而 1997 年 Don Zagier 则将这证明压缩到三页纸.

后来, 人们的主要关心素数分布的余项, 定义对数积分函数Li(x)=∫2x​logtdt​,素数定理的熟知版本也能被写作 π(x)∼Li(x). 早在 1899 年 de la Vallée Poussin 在另一篇文章中指出 π(x)=Li(x)+O(xe−alogx​) 对某正常数 a 成立. 而 1901 年 Helge von Koch 指出在 Riemann 猜想成立的前提下, 能将结果改良为π(x)=Li(x)+O(x​logx),实际上这结果也等价于 Riemann 猜想.

素数定理最为人熟知的版本是:

定理 2.1. 用 π(x) 表示不超过正数 x 的素数个数, 则x→+∞lim​xπ(x)logx​=1.

Chebyshev 的弱版本指的是

定理 2.2 (Chebyshev). 存在常数 00 上的半纯函数, 此区域内唯一的极点是 s=1. 而且 Res≥1 时 ζ(s)=0.

此处我们证明 Tauber 定理的一种形式, 其被应用到素数定理的证明中时我们便知为何需要如此条件.

定理 3.5 (解析定理). 设 f(t)(t≥0) 是有界且可积的函数, 设 Laplace 变换得到 Rez>0 上的全纯函数g(z)=∫0∞​f(t)e−ztdt.如果 g(z) 能连续延拓到 Rez≥0 的一个邻域上, 则瑕积分 limT→∞​∫0T​f(t)dt 存在且等于 g(0).

证明. 对 T>0 定义 gT​(z)=∫0T​f(t)e−ztdt, 由有界得知其是整函数, 只需证明 limT→+∞​gT​(0)=g(0).

现设 R 充分大, δ>0 充分小, 至少使得 D:={z∈C:∣z∣≤R,Rez≥−δ} 的一个邻域内 g 全纯, 考虑 C 为区域 D 的边界逆时针向的围道. 由此根据 Cauchy 积分公式不难写出g(0)−gT​(0)=2πi1​∫C​(g(z)−gT​(z))ezT(1+R2z2​)zdz​.这时我们考察围道位于 Rez>0 的半圆, 将其记作 C+​. 设 supt≥0​∣f(t)∣=B, 不难估计得知 (注意此时 ∣z∣=R) : ∣g(z)−gT​(z)∣∣∣​ezT(1+R2z2​)z1​∣∣​​=∣∣​∫T∞​f(t)e−ztdt∣∣​≤RezBe−T⋅Rez​,=eT⋅Rez⋅R22Rez​.​因此 C+​ 上的积分值被 2πB/R 所控制.

另一方面, 在剩余的围道 C−​:=C\C+​ 上, 我们分开看 g(z),gT​(z). 首先 gT​ 是整函数, 因此 C−​ 围道可以用半圆 C−′​:={z∈C:∣z∣=R,Rez1 有全纯函数的等式Φ(s):=−ζ(s)ζ′(s)​−p∑​ps(ps−1)logp​=p∑​pslogp​=s∫1∞​xs+1ϑ(x)​dx=s∫0∞​e−stϑ(et)dt.由此推出 Φ(s)−s−11​ 可连续延拓为 Re(s)≥1 的一个邻域上定义的连续函数.

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命题 3.7. 如下的瑕积分收敛: B→+∞lim​∫1B​x2ϑ(x)−x​dx.

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命题 3.8. 我们有x→+∞lim​xϑ(x)​=1.

证明. 一方面, 若 λ>1 满足存在充分大的 x 使 ϑ(x)≥λx. 因为 ϑ 单调不减, 有∫xλx​t2ϑ(t)−t​dt≥∫xλx​t2λx−t​dt=∫1λ​t2λ−t​dt>0.式子最右是与 x 无关的量, 与先前瑕积分收敛的命题矛盾.

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参见: Legendre 多项式

引理 4.4. 有如下的恒等式, 我们将两边称为 [0,1] 上的 Legendre 多项式: Pn​(x):=n!1​(dxd​)n(xn(1−x)n)=k=0∑n​(kn​)(kn+k​)(−x)k.

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结合先前若干引理, 我们逼近 ζ(3):

推论 4.5. 对 n≥1 我们有∫01​∫01​∫01​(1−(1−xy)z)n+1xn(1−x)nyn(1−y)nzn(1−z)n​dxdydz=lcm(1,2,⋯,n)3An​ζ(3)+Bn​​.其中 An​,Bn​∈Z.

证明. 令I:=∫01​∫01​−(1−xy)log(xy)​Pn​(x)Pn​(y)dxdy.于是利用 Pn​ 的求和形式, 将 Pn​(x)Pn​(y) 写成 xrys 的求和, 分析其中 r=s,r=s 的部分立刻得出它形如 lcm(1,2,⋯,n)3An​ζ(3)+Bn​​.