干货周记：三分钟弄懂零极点图（下）（番外篇3）

前集回顾

话说上期，我们聊到了，如何在现实世界中，通俗地理解“傅里叶变换”、“拉普拉斯变换”和“Z变换”的奥妙。为加深印象，咱在开启本篇的话题之前，再做个前集回顾：

在上篇文章《干货周记：三分钟弄懂零极点图（上）（番外篇2）》中：我们搞懂了，“傅里叶变换”和“欧拉公式”这对组合，能完美地把时域信号，映射到了频域，从而让咱能多了个视角去观察世界。

但大千世界，无奇不有，有些信号吧，它不可积，也不稳定，如果要分析它们，那“傅里叶”的法力就不够用了，咱得用带“衰减因子”的“拉普拉斯变换”稳住局面。 

同时，咱也清楚了：为啥“傅里叶变换”只是“拉氏变换”的一个切片，为啥“Z变换”只是叠了层“甲”的“拉普拉斯变换”。有了这些基础，咱在上期的结尾部分，终于引出了S域和Z域的零极点图。 

下面，咱尽量简化，不讲太细，直接把干货浓缩成“作业指导书”，捧起来就知道该怎么用。话不多说，上干货。

提醒

一、现有不少软件工具，可直接做系统设计/仿真。这固然好，但咱要警惕：太依赖工具软件，可能会让我们对系统理解不深入，很难做深度思考。

二、本文只为工程应用/分析，是从工具角度出发，剖析并不深入。

三、Roy不是专业人员，难免理解会有瑕疵，如表述不当，请私信或留言。

啥是零极点图？

看到下面两幅零极点图，你可能会想：这玩意儿也太抽象了吧，它真能帮咱分析系统特性吗？别急，咱一步步来。 

那啥是零极点图呢？它本质上就是“拉氏变换”和“Z变换”等的系统特性表示图。基于它，你可以透过现象看本质，一眼洞穿其系统特性。听着挺玄乎，其实也没啥神秘的，看完这篇文章，你就明白咋回事了。

咱先回忆下，“傅里叶变换”的系统特性表示图是什么？是波特图（即幅频图和相频图），当看到下左图时，你很快就能认出，这是个低通滤波器系统，因为其对高频部分有衰减，甚至哪里可能有个极点，你都能一目了然。 

如果说“傅里叶变换”的系统特性表示图，是2D的波特图，那多加了一维的“拉氏变换”和“Z变换”的系统表示图，理应用3D图来表示。但以S域零极点图（下右图）为例，其本质也就是下左图的俯视图，幅度的凸凹（即极点和零点），分别用x和o表示。看上去还是2D的，不够炫酷。 

这主要是因为，早期的前辈们，受限于当年的计算机性能，无法随心所欲地做仿真/建模，更不好在纸上呈现3D，不得已才祭出了“零极点图”这种近似分析工具。 

说到这，“零极点图”似乎还有点复古风，我更喜欢称之为2.5D图。

类似的表现手法，在STFT或小波变换上也有所体现，区别只是去掉了“衰减因子”维度，引入了“衰减因子”维度，把用“零极点”表示幅度变化趋势，改成了用“色彩强弱”表示幅度。

看清“零极点图”真面目

说到“零极点图”，我们要先搞清楚是哪个域的图。“S域”（拉普拉斯域），还是“Z域”？一般而言，模拟系统分析和滤波器设计，常在S域做分析；而数字系统与滤波器设计，则常在Z域做分析。

另外，零极点图中，无论S域还是Z域，X都代表极点，也是幅度凸点。O都代表零点，也是幅度凹点。这种表达方式，和高中物理中的磁感线方向的呈现手法，有些类似。 

S域“零极点图”分析的核心：

一、横轴代表衰减程度（左侧有衰减，更安全），纵轴代表频率，一般仅关注上半轴/正频率，原点为f=0处，Y轴向上是f=+∞方向，可基于此看频响特性。

二、极点会造成幅度凸点（Peak），零点会造成幅度凹点(Notch)。无论零点还是极点，离横轴原点越近，其影响力就越大。

三、图上的每一个点（σ+jω），都代表了该系统在对应频点上的分布，以及其对应的衰减特征。 

四、当极点落在σ=0的虚轴上时，系统临界稳定。极点落在左半平面时，系统稳定，极点飘到右半平面时，系统不稳定，会自激、会啸叫。

举例：下图中，在w=0处有两个极点凸起，很显然，这是一个二阶LPF低通滤波器，综合滚降斜率为-40dB/Dec

同样的，不难得出以下结论：

这是个一阶高通滤波器HPF。虽然在ω=0处有极点也有零点，但离原点近的影响力更大，其主导作用，所以在这里ω=0（DC）时，零点赢了，故在右面的幅频图中f=0处幅度也为0，很明显的HPF。

类似的，下面的零极点图，表示的是个带通BPF。正轴极点对应的ω值，也对应了右面频点的凸起位置。

Z域“零极点图”分析的核心：

一、Z域零极点图，是极坐标形式。离单位圆的距离代表衰减程度（单位圆内有衰减，更安全），旋转角度可代表频率（φ=0时为DC，φ=π时，ω=fs/2，即待分析信号的奈奎斯特带宽）。通常分析时，只需看第一第二象限（φ=0~π） 

二、极点会造成幅度凸点（Peak），零点会造成幅度凹点(Notch)。无论零点还是极点，离单位圆原点越近，其影响力就越大。

三、图上的每一个点Re(z)+Im(z)，都代表了该系统在对应频点上的分布，以及其对应的衰减特征。频点信息可根据角度信息解析得出。 

四、当极点落在单位圆上时，系统临界稳定。极点落在单位圆内，系统稳定，极点飘到单位圆外，系统不稳定，会自激、会啸叫。很多时候设计时，需要留有足够的裕量，否则可能会导致极点飘到单位圆外。（如ANC系统的次级路径变化时，可能会导致系统自激振荡）

无论S域还是Z域，一句话小结：本质上就是在系统中，通过设计零极点个数，及其摆放位置，使得系统达到目标特性。举例：ANC系统，通过测量和理论计算，可以得到前馈系统的目标传函，工程师们可通过在Z平面上，摆放设计好的零极点，从而达到目标特性。 

然而，“零极点图”有优点也有缺点，它并非人见人爱。

优点：简单、直观，快。通过“零极点图”这个可视化平台，设计者可直观地分析出系统的频响特性，快速分辨系统稳定性，而不需要繁琐的计算。举例：在用“零极点图”设计滤波器时，工程师直接就开启了“上帝视角”，通过调整零极点位置的摆放，就能灵活地改变系统特性。 

三个缺点：

一、线性时不变的枷锁。“零极点图”主要适用于”线性时不变“系统分析，而对”时变系统“无能为力。

二、精度有限。无法提供精确的幅度信息，也不能精确得到幅频和相频响应的具体曲线形状。

三、对超高阶系统，可读性会下降。很难想象，面对一大堆零极点密密麻麻的分布图，脑子里原始洞察力，会何去何从。

总之，零极点图是个高效直观的系统分析工具，但它也有自身的局限性，对复杂系统或需精确信息的场合，结合其他“武器”使用，效果最佳。

最后，咱再留个思考题：上述只是针对幅频做了分析，那相频呢？零极点的影响又当如何分析，相位裕度该怎么把握，如何摆放零点，能把不稳定系统，补偿为稳定系统？欢迎私信/留言。

End

Roy个人观点，仅供参考。

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