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稳定性，是指控制系统在任意足够小的偏差作用下，其过度过程随着时间的推移是否具有逐渐恢复原平衡状态的性能。 当系统受到扰动后，系统最终恢复原平衡状态，即系统输出c(t)逐渐收敛，为系统稳定；当系统受到扰动后，扰动消除，系统的输出c(t)会出现逐渐发散振荡或者等幅振荡，为系统不稳定。

根据稳定性的定义，系统稳定性与系统的输入无关，是系统的固有特性。由此来推出线性系统稳定性的判别准则。

设线性系统的微分方程：   a n d n c ( t ) d t n + a n − 1 d n − 1 c ( t ) d t n − 1 + . . . + a 1 d c ( t ) d t + a 0 c ( t ) =   b m d m r ( t ) d t m + b m − 1 d m − 1 r ( t ) d t m − 1 + . . . + b 1 d r ( t ) d t + b 0 r ( t ) \ a_n \frac{d^n c(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} c(t)}{dt^{n-1}} +...+a_1 \frac{d c(t)}{dt} +a_0 c(t) \\ = \ b_m \frac{d^m r(t)}{dt^m} + b_{m-1} \frac{d^{m-1} r(t)}{dt^{m-1}} +...+b_1 \frac{d r(t)}{dt} +b_0 r(t)  an​dtndnc(t)​+an−1​dtn−1dn−1c(t)​+...+a1​dtdc(t)​+a0​c(t)= bm​dtmdmr(t)​+bm−1​dtm−1dm−1r(t)​+...+b1​dtdr(t)​+b0​r(t)

c(t)–系统输入； r(t)–系统输出； (注：c、r可理解为输"入"、输"出"的汉语拼音首字母)

由于稳定性是研究去掉扰动后系统的运动情况，所以，令   a n d n c ( t ) d t n + a n − 1 d n − 1 c ( t ) d t n − 1 + . . . + a 1 d c ( t ) d t + a 0 c ( t ) = 0 \ a_n \frac{d^n c(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} c(t)}{dt^{n-1}} +...+a_1 \frac{d c(t)}{dt} +a_0 c(t) = 0  an​dtndnc(t)​+an−1​dtn−1dn−1c(t)​+...+a1​dtdc(t)​+a0​c(t)=0 得到齐次微分方程。 进行拉氏变换可得（初始状态为零）：   a n s n + a n − 1 s n − 1 + . . . + a 1 s + a 0 = 0 \ a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} +...+ a_1 s + a_0 =0  an​sn+an−1​sn−1+...+a1​s+a0​=0 微分方程的解的一般式为：   c ( t ) = k 1 e s 1 t + k 2 e s 2 t + . . . + k n e s n t \ c(t) = k_1 e^{s_1 t} + k_2 e^{s_2 t} +...+ k_n e^{s_n t} \\  c(t)=k1​es1​t+k2​es2​t+...+kn​esn​t k_1 、k_2、…、k_n --由初始条件决定的积分常数； s_1、s_2、…、s_n–特征方程的根

这些特征值的根可以是实根也可以是复根，这里设q个实根，2r个复根，满足q + 2r = n ∏ i = 1 q a n ( s − s i ) ∏ j = 1 r [ s − ( σ j + j ω j ) ] [ s − ( σ j − j ω j ) ] = 0 \prod_{i=1}^q a_n (s - s_i) \prod_{j=1}^r [s - (\sigma_j +j\omega_j)] [s - (\sigma_j - j\omega_j)] = 0 i=1∏q​an​(s−si​)j=1∏r​[s−(σj​+jωj​)][s−(σj​−jωj​)]=0 改写成， y ( t ) = ∑ i = 1 q k i e s i t + ∑ j = 1 r e σ j t ( A j c o s ( ω j t ) + B j s i n ( ω j t ) ) y(t) = \sum_{i=1}^q k_i e^{s_i t} + \sum_{j=1}^r e^{\sigma_j t}(A_j cos(\omega_j t) + B_j sin(\omega_j t)) y(t)=i=1∑q​ki​esi​t+j=1∑r​eσj​t(Aj​cos(ωj​t)+Bj​sin(ωj​t))

由上式可得出， ① 如果s_i、σ_j都是负值，那么当t→∞时，c(t)→0， 这说明系统的特征方程的根是负实根或共轭复根具有复实部时，系统在稳态（t→∞）下必然是稳定的。

② 反之，s_i、σ_j都是正值，那么当t→∞时，c(t)→∞，则c(t)是发散的，系统不稳定。

③ 如果特征根的共轭复根的实部σ_j为0，c(t)中包含(A_j cos(ω_j t) + B_j sin(ω_j t)这样的振荡分量，便会出现临界振荡或称为系统临界稳定状态，工程上认为临界振荡也是一种不稳定；

④ 特征根为0，即落在原点处，则c(t)输出中包含常数项，相当于系统偏离平衡状态，所以系统不稳定。

综上，系统稳定性的判别可以归结为系统特征根的判别。系统稳定的充要条件：系统传递函数的特征根全部在[s]平面的左半平面。

如果传函为系统的闭环传函，形如 闭环传递函数：   G t ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) \ G_t(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}  Gt​(s)=1+G(s)H(s)G(s)​

设控制系统的传递函数G(s)   G ( s ) = b m s m + b m − 1 s m − 1 + . . . + b 1 s + b 0 a n s n + a n − 1 s n − 1 + . . . + a 1 s + a 0 ( n ≥ m ) \ G(s)=\frac{b_m s^m +b_{m-1} s^{m-1} +...+b_1 s +b_0 }{a_n s^n +a_{n-1} s^{n-1} +...+a_1 s +a_0} (n \geq m)  G(s)=an​sn+an−1​sn−1+...+a1​s+a0​bm​sm+bm−1​sm−1+...+b1​s+b0​​(n≥m) 控制系统的特征方程为分母等于0的方程。

有前面可知，传函的特征方程为   a n s n + a n − 1 s n − 1 + . . . + a 1 s + a 0 = 0 \ a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} +...+ a_1 s + a_0 =0  an​sn+an−1​sn−1+...+a1​s+a0​=0 这个多项式可以分解成一次因式（s +a）和二次因式（s^2 + bs +c）相乘的形式一次因式给出的是实根，二次因式可得出实根或者共轭复根。 当a、b、c都为正数时，特征方程的根才为负实数或复实部的共轭复数（二次方程的求根公式：x_1_2 =[-b±(b^ 2-4ac)^(1/2)]/2a）。 于是可知，特征多项式的系数a_n必须是正数，才能保证系统稳定（多项式的系数全为负可乘-1，变为正数）。

①系统特征方程多项式的各项系数均大于零，即a_i > 0； ②劳斯计算表的第一列系数的符号相同（不变号，一般为大于零）； 满足以上两个条件则说明系统稳定。

以六阶系统为例，展示劳斯计算表的计算方式：   a 6 s 6 + a 5 s 5 + a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 \ a_6 s^6 + a_5 s^5 +a_4 s^4 +a_3 s^3 +a_2 s^2 + a_1 s + a_0 =0  a6​s6+a5​s5+a4​s4+a3​s3+a2​s2+a1​s+a0​=0

系统的s^n存在缺少项，则系统不稳定（结构不稳定）

这时可以使用无穷小值 ε 代替0做分母进行计算，在令ε→0时，判断第一列该项数值的符号

例：   s 5 + 2 s 4 + 3 s 3 + 6 s 2 + 2 s + 1 = 0 判断系统是否稳定，并求出不稳定根的个数 \ s^5 +2 s^4 +3 s^3 +6s^2 + 2s + 1 =0 \\判断系统是否稳定，并求出不稳定根的个数  s5+2s4+3s3+6s2+2s+1=0判断系统是否稳定，并求出不稳定根的个数

在劳斯计算表中出现某一行各项全为0，这意味着在[s]平面存在一些对称(大小相等，符号相反)的根，包括实根和共轭复根。此时劳斯计算表由于全0行不能进行计算，这时，可将劳斯计算表全0行的上一行的数值作为系数构成"辅助方程"，在对"辅助方程"进行求导，将求导后的系数替代全0行，继续计算。 例：   s 6 + 2 s 5 + 8 s 4 + 12 s 3 + 20 s 2 + 16 s + 16 = 0 判断系统稳定性 \ s^6 + 2s^5 + 8s^4 + 12s^3 + 20s^2 + 16s + 16 =0 判断系统稳定性  s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0判断系统稳定性

从劳斯计算表可以看出，第一列无符号变换，特征方程系数均大于0 ，但s^3行为全0行说明有共轭复根存在，可通过辅助方程A(s)求出，令 A(s)=0得 s^ 4 + 6s^2 + 8 = 0 解得两对共轭复根， s 1 , 2 = ± j 2 , s 3 , 4 = ± j 2 s_{1,2} = \pm j\sqrt {2} , s_{3,4} = \pm j 2 s1,2​=±j2 ​,s3,4​=±j2 这两个共轭复根同时还是原特征方程的根，在[s]平面虚轴上，因此该控制系统处于临界振荡状态，为工程的不稳定状态。

例，D(s) = s^ 3 + 5k s^2 + (2k+3)s +10 (1) 求系统稳定时，k的取值范围； (2) k取何值时，系统处于振荡状态，并求出角频率；(类似上面求共轭复根) (3) 使s在[s]平面 Re= -1以左时，求k的范围；(提示：用s = s’ -1代替s，再对s’进行劳斯判据计算)