常用地图投影之圆锥投影

定义

设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。

分类

按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :

正轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致；

横轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致；

斜轴圆锥投影

圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合， 也不与它的长轴相重合。

按变形性质分

等角圆锥投影

正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。

等面积圆锥投影

正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。

任意投影

特例是等距离投影。

极坐标公式为：

\[\rho=f(\phi)\]

\[\delta=\alpha \cdot \lambda\]

其中\(\delta\)表示两条经线夹角在平面上的投影。

\(\alpha\)表示\(\delta\)与\(\lambda\)的比值，小于1

\(\lambda\)表示地球椭球体上两经线的夹角。

直角坐标公式为:

\[x=\rho_{s}-\rho cos\delta\]

\[y=\rho sin\delta\]

其中\(\rho_{s}\)表示制图区域最低纬线的投影半径

在该投影中,经纬线投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。

基本公式：

根据等角条件   a=b或 m=n，得：

\[d\rho/(M d\phi)=\alpha \rho/r\]

\[d\rho/\rho=\alpha M d\phi/(Ncos\phi)\]

将M，N 公式带入上式，并取积分可得：

\[\rho=K/U^{\alpha}\]

K,\(\alpha\)称为投影常数

\[U=tg(45^{0}+\phi/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi=esin\phi\]

当\(\phi=0^{0}\)时，K=\(\rho\)，故K的几何意义是赤道的投影半径

正等角圆锥投影的一般公式如下：

\[\delta=\alpha\cdot\lambda\]

\[\rho=K/U^{\alpha}\]

\[U=tg(45^{0}+\phi/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi=esin\phi\]

\[e=((a^{2}-b^{2})/a^{2})^{1/2}\]

\[x=\rho_{s}-\rho cos\delta\]

\[y=\rho sin\delta\]

\[m=n=\alpha \rho/r=\alpha K/(rU^{\alpha})\]

\[p=m^{2}=n^{2}=(\alpha K/(rU^{\alpha}))^{2}\]

\[\omega=0\]

投影常数\(\alpha\),K的确定方法

下图分别对应上述123

双标准纬线正等角圆锥投影

经纬线的表象：其经线表现为辐射的直线束,纬线投影成同心圆圆弧。圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称为标准纬线（\(\phi_{1},\phi_{2}\))。

标准纬线的位置：

\[\phi_{1}\approx\phi_{s}+35^{'}\]

\[\phi_{2}\approx\phi_{N}-35^{'}\]

\(\phi_{s}\):制图区域最南边的纬度

\(\phi_{N}\):制图区域最北边的纬度

双标准纬线正等角圆锥投影投影公式

\[\alpha=(lgr_{2}-lgr_{1})/(lgU_{1}-lgU_{2})\]

\[K=(r_{1}U_{1}^{\alpha})/\alpha=(r_{2}U_{2}^{\alpha})/\alpha\]

其中：\[U_{1}=tg(45^{0}+\phi_{1}/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi_{1}=esin\psi_{1}\]

其他的公式同前。

投影变形分析

作者：Sailor

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