等比级数（等比数列求和）

设等比数列的首项是 a ，公比是 q ，那么等比数列组成的级数 \sum_{n=0}^{\infty}{aq^{n}} = a + aq + \dots + aq^{n} + \dots \\ 叫做等比级数（又称几何级数），其中 a \ne 0 ， q 叫做级数的公比。

其前 n 项和为：

S_n=a+aq+\cdots+aq^{n-1} \tag{1}

为了找到 S_n 的表达式，我们可以使用错位相减法。具体来说，我们将 S_n 与 qS_n 相减

qS_n=aq+aq^2+\cdots+aq^{n} \tag{2}

(1) -(2) 得：

S_n-qS_n=a - a q^n \\ (1-q)S_n=a - a q^n\\

于是

S_n=\frac{a(1 - q^n)}{1-q}\\

当 |q| < 1 ，且 n 趋于无穷大时， q^n 趋于 0 ，因此，当 n 趋于无穷大时， S_n 趋于 \displaystyle \frac{a }{1-q} 。这说明等比级数在公比小于 1 时收敛，且其和为 \displaystyle \frac{a }{1-q} ；当 |q| > 1 ，且 n 趋于无穷大时， q^n 趋于 \infty ，从而 S_n 趋于无穷大。这说明等比级数在公比大于 1 时发散。

如果 |q| = 1 ，则当 q = 1 时， S_n = na \rightarrow \infty ，因此等比级数发散；当 q = -1 时，等比级数写成 S_n = a - a + a -a + \dots \\ 显然 S_n 随着 n 为奇数或为偶数而等于 a 或等于零，从而 S_n 极限不存在，这时等比级数发散。