求极限问题：x趋于0时的等价替换及其适用条件、洛必达法

等价无穷小的定义： 若 lim ⁡ β α = 1 \lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1 limαβ​=1，则 β \beta β 与 α \alpha α 是等价无穷小的，记作 α ∼ β \alpha \sim \beta α∼β. 即当两个函数相比取极限，如果极限值为1，则这两个函数是等价无穷小的。

sin ⁡ x ∼ x \sin x \sim x sinx∼x

arcsin ⁡ x ∼ x \arcsin x \sim x arcsinx∼x

tan ⁡ x ∼ x \tan x \sim x tanx∼x

arctan ⁡ x ∼ x \arctan x\sim x arctanx∼x

e x − 1 ∼ x e^x -1\sim x ex−1∼x

ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ x \ln(1+x) \sim x ln(1+x)∼x

a x − 1 ∼ x ln ⁡ a    ,       ( a > 0 , a ≠ 1. ) a^x-1\sim x\ln a\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.) ax−1∼xlna  ,     (a>0,a=1.)

log ⁡ a ( 1 + x ) ∼ x ln ⁡ a    ,       ( a > 0 , a ≠ 1. ) \log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}\ \ ,\ \ \ \ \ (a>0, a \neq1.) loga​(1+x)∼lnax​  ,     (a>0,a=1.)

1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 1-\cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2 1−cosx∼21​x2

( 1 + x ) α − 1 ∼ α x (1+x)^\alpha -1\sim \alpha x (1+x)α−1∼αx

( 1 + β x ) α − 1 ∼ α β x (1+\beta x)^\alpha -1\sim \alpha\beta x (1+βx)α−1∼αβx

1 + x n − 1 ∼ 1 n x \sqrt[n]{1+x}-1\sim\dfrac{1}{n}x n1+x ​−1∼n1​x

x − sin ⁡ x ∼ 1 6 x 3 x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3 x−sinx∼61​x3

arcsin ⁡ x − x ∼ 1 6 x 3 \arcsin x-x\sim\dfrac{1}{6}x^3 arcsinx−x∼61​x3

tan ⁡ x − x ∼ 1 3 x 3 \tan x -x\sim \dfrac{1}{3}x^3 tanx−x∼31​x3

x − arctan ⁡ x ∼ 1 3 x 3 x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3 x−arctanx∼31​x3

x − ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ 1 2 x 2 x-\ln(1+x) \sim \dfrac{1}{2}x^2 x−ln(1+x)∼21​x2

洛必达法则：设 (1) 当 x → a x\rightarrow a x→a 时，函数 f ( x ) f(x) f(x) 及 F ( x ) F(x) F(x) 都趋于 0； (2) 在点 a a a 的某去心领域内， f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 及 F ′ ( x ) F^{\prime}(x) F′(x) 都存在且 F ′ ( x ) ≠ 0 F^{\prime}(x)\neq 0 F′(x)=0；

(3) lim ⁡ x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} x→alim​F′(x)f′(x)​ 存在（或为 ∞ \infty ∞）

则 lim ⁡ x → a f ( x ) F ( x ) = lim ⁡ x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f^{\prime}(x)}{F^{\prime}(x)} x→alim​F(x)f(x)​=x→alim​F′(x)f′(x)​.

洛必达法则使用于以下类型的极限中：(未定式类型)

0 0 \dfrac{0}{0} 00​

∞ ∞ \dfrac{\infty}{\infty} ∞∞​

0 ⋅ ∞ 0\cdot\infty 0⋅∞

0 0 0^0 00

1 ∞ 1^{\infty} 1∞

∞ 0 \infty^0 ∞0

∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞.

在求极限问题中，不是所有的情况都是可以直接用等价替换的。

从等价无穷小的定义中 lim ⁡ β α = 1 \lim\dfrac{\beta}{\alpha}=1 limαβ​=1 可以看出， α \alpha α 与 β \beta β 的极限比值为1，所以在乘除关系中，可以使用等价无穷小进行替换。

等价替换适用于乘除关系中，部分加减关系中可以用等价无穷小替换。大致如下：

若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1​， β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1​，则 lim ⁡ α β = lim ⁡ α 1 β = lim ⁡ α β 1 = lim ⁡ α 1 β 1 . \lim\dfrac{\alpha}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha}{\beta_1}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}. limβα​=limβα1​​=limβ1​α​=limβ1​α1​​.

若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1​， β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1​，且 lim ⁡ α 1 β 1 = A ≠ 1 \lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1 limβ1​α1​​=A=1，则 α − β ∼ α 1 − β 1 \alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1 α−β∼α1​−β1​.

若 α ∼ α 1 \alpha\sim\alpha_1 α∼α1​， β ∼ β 1 \beta\sim\beta_1 β∼β1​，且 lim ⁡ α 1 β 1 = A ≠ − 1 \lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1 limβ1​α1​​=A=−1，则 α + β ∼ α 1 + β 1 \alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1 α+β∼α1​+β1​.

简单地讲就是，若极限的分子分母中有加减关系，且等价替换后加减关系的结果为0，这时候一般不能用等价替换。