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繁星数学随想录·笔记卷
摘录卷
第一p广义积分与第二p广义积分
第一
p
p
p 广义积分——无穷区间的敛散性
讨
论
:
∫
a
+
∞
d
x
x
p
(
a
>
0
)
的
敛
散
性
解
答
:
(
1
)
p
=
1
,
∫
a
+
∞
d
x
x
=
ln
x
∣
a
+
∞
=
∞
⇒
发
散
(
2
)
p
≠
1
,
∫
a
+
∞
d
x
x
p
=
x
1
−
p
1
−
p
∣
a
+
∞
⇒
{
p
>
1
收
敛
p
<
1
发
散
综
上
，
对
于
积
分
∫
a
+
∞
1
x
p
d
x
,
p
>
1
收
敛
,
p
⩽
1
发
散
\begin{aligned} & 讨论:\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}\ \ (a>0)\ 的敛散性\\ & 解答:\ (1) \ \ p=1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a} ^{+\infty}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\ \ \ (2) \ \ p\neq1\ , \ \int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{x^{1-p}}{1-p}\right|_{a} ^{+\infty}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 收敛 \\ \ p1 \ 收敛 \ , \ p\leqslant 1 \ 发散 \end{aligned}
讨论:∫a+∞xpdx (a>0) 的敛散性解答: (1) p=1 , ∫a+∞xdx=lnx∣a+∞=∞⇒发散 (2) p=1 , ∫a+∞xpdx=1−px1−p∣∣∣∣a+∞⇒{ p>1 收敛 p1 收敛 , p⩽1 发散 第二
p
p
p 广义积分—— 无界函数的敛散性
讨
论
:
∫
a
b
1
(
x
−
a
)
p
d
x
的
敛
散
性
(
1
)
p
⩽
0
,
则
积
分
不
为
瑕
积
分
，
为
定
积
分
，
定
积
分
都
收
敛
。
(
2
)
p
>
0
,
①
p
=
1
,
则
∫
0
1
d
x
x
−
a
=
ln
(
x
−
a
)
∣
0
1
=
∞
⇒
发
散
②
p
≠
1
,
则
∫
0
1
d
x
x
p
=
(
x
−
a
)
−
p
+
1
−
p
+
1
∣
0
1
⇒
{
p
>
1
发
散
p
<
1
收
敛
综
上
，
对
于
积
分
∫
a
b
1
(
x
−
a
)
p
d
x
，
p
<
1
时
收
敛
，
p
>
1
时
发
散
。
特
别
地
，
对
于
积
分
∫
0
1
1
x
p
d
x
，
p
<
1
时
收
敛
，
p
>
1
时
发
散
。
\begin{aligned} & 讨论:\int _{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^p}dx\ 的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p\leqslant0 \ , \ 则积分不为瑕积分，为定积分，定积分都收敛。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p>0 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p=1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x-a}=\left.\ln (x-a)\right|_{0} ^{1}=\infty\Rightarrow 发散 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p\neq1 \ , \ 则 \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^p}=\left.\frac{(x-a)^{-p+1}}{-p+1}\right|_{0} ^{1}\Rightarrow\begin{cases}\ p>1\ \ 发散 \\ \ p0 , ① p=1 , 则∫01x−adx=ln(x−a)∣01=∞⇒发散 ② p=1 , 则∫01xpdx=−p+1(x−a)−p+1∣∣∣∣01⇒{ p>1 发散 p |