牛顿迭代公式计算平方根立方根

如何用计算机来求一个数的平方根与立方根呢。可以采用牛顿迭代公式。相类似的还有GCD最大公约数算法，也即欧几里德算法，利用余数辗转相除。

用一个曲线的切线的根去表示一个曲线的根（根指一元方程的解，多元方程的解叫一组解，不叫根）。然后再从曲线上前一根处做切线，再求新切线的根，直到误差达到自己预期的精度范围内。

曲线为 y=f(x) ，在 x0 处的切线方程为 y=f(x0)+f′(x0)×(x−x0) 。要求f(x)=0的根，我们用在 x0 处f(x)的切线与x轴的交点做为曲线根的拟合。即用 f(x0)+f′(x0)×(x−x0)=0 的根做为曲线的根。

假设输入为N。我们要求 N−−√=x 。可得 x2−N=0 。此即为f(x)。即 f(x)=x2−N 。其中N为输入的要求其平方根的数。 f′(x)=2x 。代入牛顿迭代公式。可得： x=x0−x20−N2x0=x02+N2x0 。此方程即可视为一个状态转移方程了。

要求 N−−√3=x ，即 x3−N=0 ，即 f(x)=x3−N 。可知 f′(x)=3x2 。 代入牛顿迭代公式。