n次方和差公式

这几天在看同济大学应用数学系主编第五版《高等数学》。证明当\(x\rightarrow0时 \sqrt[n]{1+x}-1 \backsim \frac{1}{n}x\)用到n次立方差公式. （1）n次方差公式： \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \quad n \in N^*\) （2）n次方和公式 \(a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots -ab^{n-2}+b^{n-1}) \quad n=2k-1,k \in N^*\) 想弄明白这个公式是怎么样推导出来的，就在网上查找资料看到有几种解决办法。大致三种方法1）多项式除法 2）等比数列方法 3）图形法.笔者主要使用等比数列的相关知识解决问题.

如何证明\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) \quad n \in N^*\) 我们知道等比数列 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots, $ 前n项和是 $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \quad 又等比数列通项为 a_n=a_1q^{n-1} 带入并提出公共因式a_1到下式 $ \(S_n=a_1(1+q+q^2+\cdots+q^{n-2}+q^{n-1}) \quad (1)\) （1）式两边同乘q得到下式（2） \(qS_n=a_1(q+q^2+q^3+\cdots+q^{n-1}+q^n) \quad (2)\) (1)减(2)得到如下（3）式 \((1-q)S_n=a_1(1-q^n) \quad (3)\) 令a1=1则得到下式 \((1-q)S_n=1-q^n \quad (4)\) 将（1）式中的\(S_n\)带入上式得到 \((1-q)(1+q+q^2+\cdots+q^{n-2}+q^{n-1})=1-q^n \quad (5)\) 令\(q=\frac{b}{a}\)带入（5）式得到下式 \((1-\frac{b}{a})[1+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\cdots+\left(\frac{b}{a}\right)^{n-2}+\left(\frac{b}{a}\right)^{n-1}]=1-\left(\frac{b}{a}\right)^n \quad (6)\) 等式两边同乘\(a^n\) 如下式 \((\frac{a-b}{a})aa^{n-1}[1+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^2+\cdots+\left(\frac{b}{a}\right)^{n-2}+\left(\frac{b}{a}\right)^{n-1}]=\left[1-\left(\frac{b}{a}\right)^n\right]a^n \quad\) 化简整理得 \(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})\) \(\qquad \quad \,=(a-b) \displaystyle \sum_{i=1}^n{a^{n-i}b^{i-1}}\)

\(当n=2k-1,k \in N_+ 的n次立方和a^n+b^n只需要将b替换为-b\) \(a^n+b^n=a^n-(-b)^n=[a-(-b)][a^{n-1}+a^{n-2}(-b)+a^{n-3}(-b)^2+\cdots+a(-b)^{n-2}+(-b)^{n-1}]\) \(\qquad \quad \,=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots -ab^{n-2}+b^{n-1})\) \(\qquad \quad \,=(a+b)\displaystyle \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}{a^{n-i}b^{i-1}}\)

\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)

参考资料如下： https://zhuanlan.zhihu.com/p/587527659 https://www.zhihu.com/question/51783911/answer/1514343399