现代控制理论（1）

1.状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量 x 1 ⋯ x n x_1\cdots x_n x1​⋯xn​ 2.状态矢量： 以状态变量为分量构成的矢量 x ( t ) = ( x 1 ⋮ x n ) x(t)= \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_n\\ \end{pmatrix} x(t)=⎝⎜⎛​x1​⋮xn​​⎠⎟⎞​ 3.状态空间： 以状态变量为坐标轴构成的n维空间 4.状态方程：描述系统 u u u与 x x x之间关系的一阶微分方程组 x ˙ = A x + B u \dot x=Ax+Bu x˙=Ax+Bu 5.输出方程：描述系统 y y y与 x x x之间关系的一阶微分方程组 y = C x + D u y=Cx+Du y=Cx+Du 6.状态空间表达式： x ˙ = A x + B u \dot x=Ax+Bu x˙=Ax+Bu y = C x + D u y=Cx+Du y=Cx+Du 单输入单输出系统： x ˙ = A x + b u \dot x=Ax+bu x˙=Ax+bu y = c x y=cx y=cx 式中 x x x为 n × 1 n\times1 n×1阵， A A A为 n × n n\times n n×n阵， b b b为 n × 1 n\times1 n×1阵, c c c为 1 × n 1\times n 1×n阵 多输入多输出系统： x ˙ = A x + B u \dot x=Ax+Bu x˙=Ax+Bu y = C x + D u y=Cx+Du y=Cx+Du 式中 u u u为 r × 1 r\times 1 r×1阵， y y y为 m × 1 m\times 1 m×1阵 A A A为 n × n n\times n n×n阵， B B B为 n × r n\times r n×r阵， c c c为 m × n m\times n m×n阵, D D D为 m × r m\times r m×r阵

绘制模拟结构图的步骤： 1、选积分器数目等于状态变量数 2、将每个积分器输出选作一个状态变量 3、据方程画加法器和比例器

系统框图->模拟结构图->选定状态变量->建立状态空间表达式

对于单变量线性定常系统，可以用一个n阶线性常系数微分方程来描述： y （ n ） + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ˙ + a 0 y = b m u ( m ) + b m − 1 u ( m − 1 ) + ⋯ + b 1 u ˙ + b 0 u y^{（n）}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_mu^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+b_1\dot u+b_0u y（n）+an−1​y(n−1)+⋯+a1​y˙​+a0​y=bm​u(m)+bm−1​u(m−1)+⋯+b1​u˙+b0​u 相应的传递函数为： W ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s m + b m − 1 s m − 1 + ⋯ + b 1 s + b 0 s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} W(s)=U(s)Y(s)​=sn+an−1​sn−1+⋯+a1​s+a0​bm​sm+bm−1​sm−1+⋯+b1​s+b0​​ (1)当n>m时，传递函数为真分式，状态空间表达式中d=0 (2)当n=m时，长除法，化为整数与真分式之和 W ( s ) = b m + N ( s ) D ( s ) W(s)=b_m+\frac{N(s)}{D(s)} W(s)=bm​+D(s)N(s)​ 此时 d = b m d=b_m d=bm​

1、传递函数中没有零点时 y （ n ） + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ˙ + a 0 y = b 0 u y^{（n）}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_0u y（n）+an−1​y(n−1)+⋯+a1​y˙​+a0​y=b0​u 可以直接列写状态空间表达式： 称为能控标准型 2、传递函数中有零点时 y （ n ） + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ˙ + a 0 y = b m u ( m ) + b m − 1 u ( m − 1 ) + ⋯ + b 1 u ˙ + b 0 u y^{（n）}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y=b_mu^{(m)}+b_{m-1}u^{(m-1)}+\cdots+b_1\dot u+b_0u y（n）+an−1​y(n−1)+⋯+a1​y˙​+a0​y=bm​u(m)+bm−1​u(m−1)+⋯+b1​u˙+b0​u 状态方程与传递函数无零点的状态方程相同 输出方程不同 当n=m时，输出方程为

当m