《向量代数与空间解析几何》知识点、公式总结与典型题解析

(2)向量的投影：

【注】：零向量与任何向量垂直.

4．向量积的物理应用

常力F拉物体沿位移S所做的功W为

W=F∙S.

二、两向量的向量积及其应用

1．向量积的定义

两向量a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)的向量积定义

【注】:两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．

关于向量a，b的向量积，有：

(1) aⅹb与a，b分别垂直；

(2)a，b与aⅹb服从右手法则；

(3)|aⅹb|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a，b间的夹角．

2．向量积的几何应用

3．向量积的物理应用

设O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用于这杠杆上点P处，则力F对支点O的力矩M为

三、向量的混合积及其应用

1．向量的混合积的定义

设有三个向量

a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3),

则称向量(aⅹb)∙c为向量a,b,c的混合积，记作[abc]，并有

根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足轮换性，即

(aⅹb)∙c=( bⅹc)∙a =( cⅹa)∙b.

2．混合积的几何应用

(1) a,b,c共面⇔[abc]=0存在不全零的数λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.

(2) 空间四点A,B,C,D共面

(3) 以a,b,c为棱的四面体体积为：

(4) 以a,b,c为棱的平行六面体体积为：

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《向量代数的基本概念与基本性质》总结与典型题

《向量的数量积、向量积与混合积》及其应用知识点小结与典型题

四、空间平面及其方程

1．平面的点法式方程

设M(x0,y0,z0)为平面上的已知点，n=(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的点法式方程为：

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

2．平面的三点式方程

设M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共线的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的混合积为零，可得平面的三点式方程：

3．平面的截距式方程

如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的截距为a,b,c，则平面的截距式方程为

4．平面的一般式方程

三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的一般式方程为：

Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).

并且平面的法向量为n=(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成在有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。

5．一些特殊平面对应的方程结构

(1) 过原点的平面：Ax+By+Cz=0；

(2) 平行于x轴的平面：By+Cz+D=0；

平行于y轴的平面：Ax+Cz+D=0；

平行于z轴的平面：Ax+By+D=0；

【注】：法向量的哪个分量为零，则该平面平行于该分量对应的坐标轴。

(3) 过x轴的平面：By+Cz=0；

过y轴的平面：Ax+Cz=0；

过z轴的平面：Ax+By=0；

(4) 行于xOy坐标面的平面：Cz+D=0；

平行于zOx坐标面的平面：By+D=0；

平行于yOz坐标面的平面：Ax+D=0；

【注】：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。

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《空间平面及其方程》内容总结与典型题

五、空间直线及其方程

1．直线的向量式参数方程

设直线L过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记

则直线L参数为t的向量式参数方程为

r=r0+ts(-∞