空间向量及其运算

平面内任意向量 p \boldsymbol{p} p都可以用两个不共线的向量 a \boldsymbol{a} a b \boldsymbol{b} b来表示，这是平面向量的基本定理。类似的我们定义，如果三个向量不共面，那么对空间中的任一向量 p \boldsymbol{p} p，存在有序实数组 { x , y , z } \{x,y,z\} {x,y,z}使得 p = x a + y b + z c \boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}+z\boldsymbol{c} p=xa+yb+zc，我们把向量 { a , b , c } \{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c}\} {a,b,c}叫做空间的一个基底（base）, a , b , c \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} ,\boldsymbol{c} a,b,c叫做基向量(base vector)，如果基向量两两垂直，则称这组基向量为正交向量；如果三个基向量两两垂直且为单位向量，则为单位正交向量。

以起点同为 O O O三个单位正交向量 i , j , k \boldsymbol{i},\boldsymbol{j} ,\boldsymbol{k} i,j,k所确定的三个轴依次叫做 x x x轴（横轴）， y y y轴（纵轴）和 z z z轴（竖轴），我们把 O x y z Oxyz Oxyz或 [ O ; i , j , k ] [\boldsymbol{O};\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}] [O;i,j,k]四者的组合称为直角坐标系。 由 x x x和 y y y轴确定的平面叫做 x O y xOy xOy面，同理还有 x O z xOz xOz和 y O z yOz yOz，三个平面将空间划分为八个部分。如下图： 空间中任意一个向量都可以用坐标分解式表示。 向量 r = O M → = O P → + P N → + N M → = O P → + O Q → + O R → = x i + y j + z k \boldsymbol{r}=\overrightarrow {OM}=\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {PN}+\overrightarrow {NM}=\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}+\overrightarrow {OR}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} r=OM =OP +PN +NM =OP +OQ ​+OR =xi+yj+zk，这就建立了有序实数组(坐标) ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)、空间中向量 r \boldsymbol{r} r和空间中的点 M M M的联系。这些事实使得向量之间的运算与代数建立起了联系（即用数学计算来解决向量之间的关系）。

设 a = ( a x , a y , a z ) \boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z) a=(ax​,ay​,az​)， b = ( b x , b y , b z ) \boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z) b=(bx​,by​,bz​)，其对应坐标表示 a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k \boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}\quad \boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k} a=ax​i+ay​j+az​kb=bx​i+by​j+bz​k

基底形式： a + b = ( a x ± b x ) i + ( a y ± b y ) j + ( a z ± b z ) k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x\pm b_x)\boldsymbol{i}+(a_y \pm b_y)\boldsymbol{j}+(a_z\pm b_z)\boldsymbol{k} a+b=(ax​±bx​)i+(ay​±by​)j+(az​±bz​)k λ a = λ a x i + λ a y j + λ a z k \lambda \boldsymbol{a}=\lambda a_x\boldsymbol{i}+\lambda a_y\boldsymbol{j}+\lambda a_z\boldsymbol{k} λa=λax​i+λay​j+λaz​k

坐标形式： a + b = ( a x ± b x , a y ± b y , a z ± b z ) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_x \pm b_x,a_y \pm b_y,a_z\pm b_z) a+b=(ax​±bx​,ay​±by​,az​±bz​) λ a = ( λ a x , λ a y , λ a z ) \lambda \boldsymbol{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z) λa=(λax​,λay​,λaz​)

数量积又称点积。设一物体在恒力 F F F作用下沿直线从点 M 1 M_1 M1​移动到 M 2 M_2 M2​以 s s s表示位移 M 1 M 2 → \overrightarrow {M_1M_2} M1​M2​ ​，物理学上告诉我们，力 F F F作的功为： W = ∣ F ∣ ∣ s ∣ c o s θ W=|F||s|cos\theta W=∣F∣∣s∣cosθ 其中 θ \theta θ是 F F F与 s s s的夹角。 抽象成数学表达： a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|a||b|cos\theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

由定义可知：

满足以下性质：

PS：向量夹角范围是 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]，所以不存在 a ⋅ b \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b a⋅b和 b ⋅ a \boldsymbol b \cdot \boldsymbol a b⋅a夹角不一样的情况，都是一样的 θ \theta θ。优角是大于180度的角，劣角是小于或等于180度的角，因此向量夹角范围是劣角，在谈论向量夹角的时候，应该找小于或等于180度的角。

坐标形式的数量积 a ⋅ b = ( a x b x + a y b y + a z b z ) (1) \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)\tag{1} a⋅b=(ax​bx​+ay​by​+az​bz​)(1)

设向量坐标为： r = ( x , y , z ) \boldsymbol{r}=(x,y,z) r=(x,y,z)，对应向量形式为： r = x i + y j + z k \boldsymbol{r}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k} r=xi+yj+zk，

模(大小) ∣ r ∣ = x 2 + y 2 + z 2 |\boldsymbol{r}|=x^2+y^2+z^2 ∣r∣=x2+y2+z2 设空间中的两点 A A A， B B B，其坐标分别为设 a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1) a=(x1​,y1​,z1​)， b = ( x 1 , y 2 , z 3 ) \boldsymbol{b}=(x_1,y_2,z_3) b=(x1​,y2​,z3​) 根据三角或平行四边形法则， A B → = O B → − O A → = ( x 2 − x 1 ， y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}=(x_2-x_1，y_2-y_1,z_2-z_1) AB =OB −OA =(x2​−x1​，y2​−y1​,z2​−z1​)，其大小为 ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 |AB|=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 ∣AB∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2

方向角和方向余弦 一个非零向量与三个坐标轴的夹角称为向量在坐标系下的方向角，对应的余弦值为方向余弦。三个方向余弦的平方和等于1。换句话说，一个向量在坐标系上有唯一的比例关系：余弦

- 投影（非常重要） 给定一个点 O O O和一个单位向量 e \boldsymbol{e} e可以确定一个延伸至无穷远的数轴 u \boldsymbol u u，在这个空间上任取一个向量记为 O M → = r \overrightarrow{OM}=\boldsymbol{r} OM =r（平移至共起点)，过待投影的向量 r \boldsymbol r r终点作一个垂直于数轴 u u u的平面，相交于 M ′ M' M′（M在数轴 u u u的点投影），向量 O M ′ → \overrightarrow{OM'} OM′ 叫做向量 r \boldsymbol{r} r在 u \boldsymbol u u轴上的分向量。

任何一个在数轴 u u u上的向量都可以在用一个数 λ \lambda λ和同方向的单位向量 e e e表示，如下： O M ′ → = λ e \overrightarrow{OM'}=\lambda{\boldsymbol{e}} OM′ =λe 这个数在数学上被称为向量 r \boldsymbol r r在 u \boldsymbol u u上的向量投影，记作 P r j u r Prj_u\boldsymbol{r} Prju​r或 ( r ) u (\boldsymbol{r})_u (r)u​。

按照投影的观点，直角坐标系上的一个向量 a \boldsymbol a a在直角坐标系 O x y z Oxyz Oxyz上的坐标为（ a x , b x , c x a_x,b_x,c_x ax​,bx​,cx​）就是向量 a \boldsymbol a a在三个坐标轴上的投影，也就是： a x = P r j x a ， a y = P r j y a ， a z = P r j z a a_x=Prj_x\boldsymbol a，a_y=Prj_y\boldsymbol a，a_z=Prj_z\boldsymbol a ax​=Prjx​a，ay​=Prjy​a，az​=Prjz​a 或者你更习惯这种表示方式： a x = ( a ) x ， a y = ( a ) y ， a z = ( a ) z a_x=(\boldsymbol a)_x，a_y=(\boldsymbol a)_y，a_z=(\boldsymbol a)_z ax​=(a)x​，ay​=(a)y​，az​=(a)z​

投影有以下性质：