变限积分函数的求导（终极版神器）

在一定程度上，我们可以将积分和求导当成互逆运算。 可是如果为变限积分也即在积分上下限中也存在变量的情况下，就不是简单地将积分号去掉这么简单了，该如何运算呢。 一般教辅书中会给出这个公式 ( ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( t ) d t ) ) ′ = f ( ϕ 2 ( x ) ) ϕ 2 ′ ( x ) − f ( ϕ 1 ( x ) ) ϕ 1 ′ ( x ) \left.\left(\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} f(t) d t\right)\right)^{\prime}=f\left(\phi_{2}(x)\right) \phi_{2}^{\prime}(x)-f\left(\phi_{1}(x)\right) \phi_{1}^{\prime}(x) (∫ϕ1​(x)ϕ2​(x)​f(t)dt))′=f(ϕ2​(x))ϕ2′​(x)−f(ϕ1​(x))ϕ1′​(x) 然后在 ( ∫ 0 t s i n ( t − s ) 2 d s ) ’ (\int_0^t sin(t-s)^2 ds)’ (∫0t​sin(t−s)2ds)’的求值过程中就开始群魔乱舞，不由分说的来一波换元变成 ∫ 0 t s i n ( s ) 2 d s \int_0^t sin(s)^2 ds ∫0t​sin(s)2ds，却没有任何解释说明。

不换算不对，换完了倒是算出答案没错，那我天资愚蠢显然不理解为什么在这里要来一波换元啊，给的公式的适用范围到底是什么，什么都不讲，默认所有人已知么，如果我已知还要看你书干嘛。

那没办法我只好去搜一下这个公式咯。 这个公式是叫做 Leibniz integral rule---------终极公式，

d d x ( ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t ) = f ( x , b ( x ) ) ⋅ d d x b ( x ) − f ( x , a ( x ) ) ⋅ d d x a ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t \frac{d}{dx}(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t) dt) = f(x, b(x)) \cdot \frac{d}{dx} b(x) - f(x, a(x)) \cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,t) dt dxd​(∫a(x)b(x)​f(x,t)dt)=f(x,b(x))⋅dxd​b(x)−f(x,a(x))⋅dxd​a(x)+∫a(x)b(x)​∂x∂​f(x,t)dt

看着公式挺像的。哦…，原来书上的公式缩水了。 显然，被积函数是能随便写的。那么，上下限中的变量出现在被积函数中也不是什么奇怪的事情。但是呢，这个是需要做一定的处理或者进一步的计算才可以算出正确答案的。 当然，书上的式子显然是没有错的，它给出的原函数是只关于t 的函数，自然不会有这个问题，所以它在遇到了多元函数的时候进行了换元，在某种程度上读者应该自动参透这一点？好嘛，我反正不行。 但是在我的理解里，正常的流程，不应该是给出完整的公式并且告知在特殊情况下的公式的简化形式么，就比如这个，如果被积函数不存在第二个变量，那么式子最后一项显然是0，可以不写，不应该在这个前提下再给出这个缩水版的公式的么？ 一本本所谓的复习书，毫无章法可言，纯粹只是在一味地从书上抄些公式，然后给一些题，付个简短地题解，题解越看越迷糊，每一个等号怕不是阿姆斯特朗的一小步哦。