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专栏:离散数学必刷题 本章需要掌握的重要知识: 1.利用谓词表达式表示命题 2.变元的约束 3.谓词公式的定义、谓词公式的赋值 4.谓词公式的翻译(注意在全总个体域时使用特性谓词) 5.有限论域上量词的消去 6.谓词公式中关于量词的等价公式和蕴含式(表2-5.1) 7.前束范式 前束析取范式 前束合取范式 8.谓词推理 9种题型(速通版):【1】用谓词表达式写出下面几个命题(都是容易写错的经典例题): 1、某些大学生运动员是国家选手。 设 S(x) : x 是大学生 。 L(x) : x 是运动员 。C(x) : x 是国家选手。 则有: 2、没有一个国家选手不是健壮的。 设 S(x) :x 是国家选手。L(x):x 是健壮的。 则有: 3、所有老的国家选手都是运动员。 设 S(x) : x 是国家选手。P(x) : x 是老的 。 L(x) : x 是运动员。 则有: 4、没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。 设 S(x) : x 是女同志。 P(x) : x 是国家选手 。Q(x) : x 是家庭妇女。 则有: 5、所有运动员都钦佩某些教练。 设 S(x) : x 是运动员。 P(x) : x 是教练。A(x , y) : x 钦佩 y。 则有: 6、有些大学生不钦佩运动员。 设 S(x) : x 是大学生。P(x) : x 是运动员。A(x , y) : x 钦佩 y。 则有: 【例题】 【2】利用谓词公式翻译下面几个命题: 1、如果有限个数的乘积为零,那么至少有一个因子等于零。 设 N(x) : x 是有限个数的乘积。z(y) : y 等于零 。P(x) : x 的乘积为零。F(y) : y 是乘积中的一个因子。 则有: (∀x)( N(x)∧P(x)→(∃y)( F(y)∧z(y) ) ) 2、对于每个实数x,存在一个更大的实数y。 设 R(x):x 是实数。Q(x,y):y 大于 x 。 则有: (∀x)( R(x)→(∃y)( Q(x,y)∧R(y) ) ) 3、存在实数x,y 和 z ,使得x 与 y之和大于 x 与 z 之积。 R(x): x 是实数 。G(x,y) : x 大于 y 。 则有:(∃x)(∃y)(∃z)( R(x) ∧ R(y) ∧ R(z) ∧ G(x+y , x⋅z) )。 【3】 对下列谓词公式中的约束变元进行换名:1、(∀x)(∃y)(P(x,z)→Q(y)) 则为:(∀u)(∃v)(P(u,z)→Q(v)) 2、((∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧(∃x)R(x))→(∃z)S(x,z) 则为:((∀u)(P(u)→(R(u)∨Q(u)))∧(∃v)R(v))→(∃z)S(x,z) 这里可能有些同学会疑惑了,为什么第2题的 z 变元不换名啊? 首先我们要明确进行约束变元换名的前提: 换名是为了避免出现同一个变量既是约束变元,又是自由变元的情况出现。如果不是这种情况,可以不换。 【4】对下列谓词公式中的自由变元进行代入: 【5】 有限论域消去量词,并对以下公式赋值后求真值: 【6】 请记住以下的谓词公式的等价式和蕴含式: ⚠️注意:全称量词与存在量词在公式中出现的次序,不能随意更换。 如果你想记下这个,可以通过如下图辅助性记忆: 用双向箭头表示等价,单向箭头表示蕴含,见它们之间的关系。 【例题】 【7】 求前束合取范式: 前束合取范式的定义:(注意:可以 前束析取范式定义: 做题时,可能遇到的三种情况: 假设求出的前束合取范式,它的每一个求出前束合取范式后,根据第一章主合取范式和主析取范式的知识: 在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取,即为此公式的主析取范式。 那剩下的真值为F的指派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。 我们可以直接通过前束合取范式求出前束析取范式: 【例题】 例如求:(∀x)(P(x)→Q(x,y))→((∃y)P(y)∧(∃z)Q(y,z)) 它的前束合取范式和前束析取范式 答:先求其前束析取范式 (∀x)(P(x)→Q(x,y))→((∃y)P(y)∧(∃z)Q(y,z)) ⇔¬(∀x)(¬P(x)∨Q(x,y))∨((∃y)P(y)∧(∃z)Q(y,z)) ⇔(∃x)(P(x)∧¬Q(x,y))∨((∃u)P(u)∧(∃z)Q(y,z)) ⇔(∃x)(∃u)(∃z)((P(x)∧¬Q(x,y))∨(P(u)∧Q(y,z))) 我们发现P(x) 和 p(u) ,Q(x,y) 和 Q(y,z)它们的 (∃x)(∃u)(∃z)( (P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y,z))∧(¬Q(x,y)∨P(u))∧(¬Q(x,y)∨Q(y,z))) ⚠️注意:当我们求一个wff的前束合取范式或析取范式时,有些可以直接求出了它的真值(T或F), 例如求:(∃x)P(x)∨(∃x)Q(x))→(∃x)(P(x)∨Q(x))的前束合取范式和前束析取范式 则: ((∃x)P(x)∨(∃x)Q(x))→(∃x)(P(x)∨Q(x)) ⇔¬((∃x)P(x)∨(∃x)Q(x))∨(∃x)(P(x)∨Q(x)) ⇔¬(∃x)(P(x)∨Q(x))∨(∃x)(P(x)∨Q(x)) ⇔T 那么 T 既是前束析取范式,也是前束合取范式,这就是最终结果!!! 我们知道: 单个变元既是简单合取式,又是简单析取式。把T看成简单合取式,它就构成了一个析取范式,类似的,把T 看成一个简单析取式,它就构成了一个合取范式。 因此这是一种特殊的范式。 【8】谓词演算的推理理论: 法一:直接证法 法二:间接证法 CP规则![]() 【9】符号化下列命题并推证其结论: 这9种题型,轻轻松松拿下!!! |
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