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代数系统基本概念
代数系统
基本概念
设X和Y是两个任意集合，而f是X到Y的一个二元关系，如果对于每一个x ∈ \in ∈X,有唯一的y ∈ \in ∈Y，使得 ∈ \in ∈f，则称f是从X到Y的一个映射（函数），记作f:X → \rightarrow →Y,若 ∈ \in ∈f，通常记y为f(x)，称x是自由变元，称y为x在映射下的象。 运算： 对于集合A，一个从A n → ^{n}\rightarrow n→B的映射，称集合A上的一个n元运算。 一个非空集合A连同若干个定义在该集合的运算f1,f2,…,fi所组成的系统，称为一个代数系统，记作 设A是一个非空集合， A n A^{n} An到B的一个映射f:A n → ^{n}\rightarrow n→B,若B ⊂ \sub ⊂A,则称映射f关于集合A是封闭的（或称A对f是封闭的）。 几个代数系统： 运算及其性质 定义：设“”是定义在集合A上的二元运算，是一个代数系统，对 ∀ a , b , c ∈ A \forall a,b,c\in A ∀a,b,c∈A若满足： a*b ∈ \in ∈A,则称运算“*”在集合上是封闭的。a*b=ba则称运算“*”在集合A上是可交换的或称运算“”在A上满足交换律(a*b)*c=a*(b*c),则称运算在集合A上是可结合的，或称运算在A上满足结合律设“*”、“ ∘ \circ ∘”是集合A上的两个二元运算，对 ∀ a , b , c ∈ A \forall a,b,c\in A ∀a,b,c∈A，若满足： a ∘ ( a ∗ b ) = a 或 a ∗ ( a ∘ b ) = a a\circ (a*b)=a或a*(a\circ b)=a a∘(a∗b)=a或a∗(a∘b)=a，则称两运算在A上满足吸收律 a ∘ ( b ∗ c ) = ( a ∘ b ) ∗ ( a ∘ c ) a\circ(b*c)=(a\circ b)*(a\circ c) a∘(b∗c)=(a∘b)∗(a∘c),则称运算“ ∘ \circ ∘”对“*”在A上满足左分配律 ( b ∗ c ) ∘ a = ( b ∘ a ) ∗ ( c ∘ a ) (b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a) (b∗c)∘a=(b∘a)∗(c∘a)，则称运算“ ∘ \circ ∘”对“*”在A上满足右分配律。如果既是左分配的又是右分配的，则称运算“0”对“*”是可分配的。设“*”是集合A上的二元运算，若 ∃ a ∈ A \exist a\in A ∃a∈A，有：a*a=a，则称a为A上的等幂元，若A中的一切元素都是等幂元，则称运算”*“在A上满足等幂律。 设“*”是集合A上的二元运算，若 ∃ e ∈ A \exist e\in A ∃e∈A，使得对 ∀ a ∈ A \forall a\in A ∀a∈A，都有： a*e=a,则称e为运算“*”关于A的右单位元素或右幺元，记为 e r e_{r} ere*a=a，则称e为运算“*”关于A的左单位元素或左幺元又记为e1.a*e=e*a=a,则称e为运算“*”关于A的单位元素或幺元设是一个代数系统，若存在左右幺元，则它们一定相等，且是幺元；若存在幺元，则幺元唯一。 设“*”是集合A上的二元运算，如 ∃ θ ∈ A \exist \theta\in A ∃θ∈A，使得对 ∀ a ∈ A \forall a\in A ∀a∈A,都有: a ∗ θ = θ a*\theta=\theta a∗θ=θ，则称 θ \theta θ为运算“*”关于A的右零元 θ ∗ a = θ \theta*a=\theta θ∗a=θ,则称“ θ \theta θ”为运算“*”关于A的左零元 a ∗ θ = θ ∗ a = θ a*\theta=\theta*a=\theta a∗θ=θ∗a=θ,则称 θ \theta θ为运算“*”关于A的零元设是一个代数系统，若存在左右零元，则他们一定相等且是零元。零元唯一 设“*”是集合A上的二元运算，e是的幺元，对 a ∈ A a\in A a∈A,若 ∃ b ∈ A \exist b\in A ∃b∈A,使得： a*b=e，则称b为a关于运算“*”右逆元，a也称为右可逆的，记为 a r − 1 = e a^{-1}_{r}=e ar−1=eb*a=e,则称b为a关于运算“*”左逆元，a也称为左可逆的ab=ba=e,称b为a关于运算“*”的逆元，a也称为可逆的设是一个代数系统，若“*”满足结合律且e是的幺元，则对 ∀ a ∈ S \forall a\in S ∀a∈S，若存在左右逆元，则该左右逆元一定相等，且是该元的逆元。逆元若存在，则唯一 设是一个代数系统，且集合S中的元素个数大于1.如果该代数系统中存在幺元和零元，则幺元不等于零元 设是一个代数系统，则： 半群：设是一个代数系统，S为非空集合。若运算“*”是封闭的，则称此代数系统是一个广群 设是一个代数系统，如运算“*”封闭的，可结合的，则此二元代数系统是一个半群，若运算”*“又是可交换的，则称此代数系统可交换半群 设是一个半群， B ⊆ B\subseteq B⊆S且*在B上封闭，那么也是一个半群称为的子半群 设是一个半群，如果H是一个有限集，则必有 a ∈ H a\in H a∈H使得a*a=a 设是一个半群，若该半群存在幺元e，则称此半群是一个独异点（或含幺半群），进一步，若运算*又是可交换运算，则称此独异点为可交换的独异点（可交换的含幺半群） 一个独异点的运算表中的任何两行（列）都是不同的 设是一个独异点，对任意 a , b ∈ S a,b\in S a,b∈S，且a，b均有逆元 群： 给定一个代数系统，若运算*满足： 封闭，结合，存在幺元，对于任意一个集合中的元素都有逆元，则称是一个群，简称G是一个群，称|G|为群G的阶 进一步满足： 运算*满足交换律，则称为交换群或阿贝尔群 |G|有限，有限群 |G|无限，无限群 阶数大于1的群无零元 设是一个群，对于a,b,c ∈ \in ∈G,如果ab=ac或者b*a=c*a，则必有b=c（消去律） 群中除幺元外无其他幂等元 子群： 设是一个群，H是G的一个非空子集，若H关于G的运算*构成群，则称是的一个子群 一般来说，对任意的群都有两个,我们称这两个子群为该群的平凡子群，而若有子群，且H ≠ \neq ={e}和H ⊂ \sub ⊂G,则称为的真子群 设是一个群，是的子群，则群的幺元必定也是子群的幺元 设是一个子群，H是G的一个有限非空子集，那么只要运算在H上封闭，必定是的子群 设是一个群，H是G的一个非空子集，如果对于H中的任何元素a和b有 a ∗ b − 1 ∈ H a* b^{-1}\in H a∗b−1∈H,则是的子群 设是一个群，H1，H2，。。。Hn是G的n和子群，则有H=H1 ∩ \cap ∩H2 ∩ ⋯ ∩ H n \cap\cdots\cap H_{n} ∩⋯∩Hn是G的子群 设是一个群，则作成交换群的充分必要条件是：对 ∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀a,b∈G有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 设是一个群，若G中存在元素a，使得对 ∀ x ∈ G \forall x\in G ∀x∈G都有x= a n ( n ∈ I ) a^{n}(n\in I) an(n∈I)，则称是由a所生成的循环群，常记群G=(a)，而a成为该循环群的生成元，群G中的一切生成元构成的集合叫做该群G的生成集 循环群一定是阿贝尔群 设=(a)是一个有限循环群，如果群G的阶为n，则a的周期/阶为n |
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