随机变量概率分布函数汇总

2018.08.18-更新

概率分布用以表达随机变量取值的概率规律，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式

离散型分布：二项分布、多项分布、伯努利分布、泊松分布

连续型分布：均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、偏态分布、贝塔分布、威布尔分布、卡方分布、F分布

连续型随机变量：若随机变量X的分布函数F(X)可以表示为一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续型随机变量，f(x)称为x的概率密度函数，积分值为X的数学期望

伯努利分布只有两种可能的结果，1-成功和0-失败，具有伯努利分布特征的随机变量X可以取值为1的概率为p，取值为0的概率1-p，其中成功和失败的概率不一定相等

成功的概率=0.15，失败的概率=0.85，来自伯努利分布的随机变量X的期望值如为：E(X)=1*p+0*(1-p)=p；随机变量与二项分布的方差为：V(X)=E(X²)–[E(X)]² =p–p²

均匀分布所有可能结果n个数的发生概率是相等的，均匀分布变量X的概率密度函数([概率密度函数]概念是针对连续分布的，求积分即发生概率)为：

均匀分布密度函数曲线的形状是一个矩形，这也是均匀分布又称为矩形分布的原因，a和b是参数。例子：花店每天销售的花束数量是均匀分布的，最多为40，最少为10，计算日销售量在15到30之间的概率(即密度函数曲线下的面积)：(30-15)*(1/(40-10))=0.5。遵循均匀分布的变量X的期望和方差为：(a+b)/2、(b-a)^2/12

二项分布的每一次尝试都是独立的，前一次投掷的结果不能决定或影响当前投掷的结果，只有两个可能结果并且重复n次的实验叫做二项式。二项分布的参数是n和p，其中n是试验的总数，p是每次试验成功的概率。n次独立重复事件发生k次的概率为：

均值和方差：np、npq

多项分布是二项分布的推广扩展，在n次独立实验中每次只输出k种结果中的一个，且每种结果都有一个确定概率，多项分布给出在多种输出状态的情况下，关于成功次数的各种组合的概率

举例投掷n次骰子，这个骰子共有6种结果输出，且1点出现概率为p1，2点出现概率p2，…多项分布给出了在n次试验中，骰子1点出现x1次，2点出现x2次,3点出现x3次，…，6点出现x6次。这个结果组合的概率公式为：

xi为第i种状态输出结果的频度，根据多项分布的极大似然估计得

正态分布的特征：1.分布的平均值、中位数和模式一致；2.分布曲线是钟形的，关于线x=μ对称；3.曲线下的总面积为1；4.两个正态分布之积仍为正态分布；5.两个独立且服从正态分布的随机变量的和服从正态分布

若随机变量X服从位置参数尺度参数的概率分布(N(,))，且其概率密度函数为：

正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率

“小概率事件”通常指发生概率小于5%的事件(认为在一次实验中几乎不可能发生)，X落在3倍标准差以外的概率小于3%，在实际问题中常认为相应的事件不会发生，看作是随机变量X实际可能的取值区间(3法则)

偏态分布(特点是左右不对称，频数分布的高峰位于一侧，尾部向另一侧延伸)与正态分布相对，是连续随机变量概率分布的一种，可通过峰度和偏度的计算，衡量偏态程度

正偏态分布(右偏分布)：M>Me>Mo(平均数>中位数>众数)

负偏态分布(左偏分布)：M