随机变量函数的分布大学数学教案2

第五节

随机变量函数的分布

内容分布图示

★

随机变量的函数

★

离散型随机变量函数的分布

★

例

1

★

连续型随机变量函数的分布

★

例

2

★

例

3

★

例

4

★

例

5

★

有关直接确定密度函数的一个定理

★

例

6

★

例

7

★

例

8

★

例

9

★

内容小结

★

课堂练习

★

习题

2-5 

讲解注意：

一、

随机变量的函数

定义

如果存在一个函数

)

(

X

g

, 

使得随机变量

Y

X

,

满足

: 

)

(

X

g

Y



, 

则称

随机变量

Y

是随机变量

X

的函数

. 

注

: 

在微积分中

,

我们讨论变量间的函数关系时

, 

主要研究函数关系的确定性特征

, 

例如

:

导数、

积分等

.

而在概率论中

, 

我们主要研究是随机变量函数的随机性特征

, 

即由自变量

X

的

统计规律性出发研究因变量

Y

的统计性规律

. 

一般地

, 

对任意区间

I

, 

令

}

)

(

|

{

I

x

g

x

C





, 

则

},

{

}

)

(

{

}

{

C

X

I

x

g

I

Y











}.

{

}

)

(

{

}

{

C

X

P

I

x

g

P

I

Y

P











注

: 

随机变量

Y

与

X

的函数关系确定

,

为从

X

的分布出发导出

Y

的分布提供了可能

. 

二、离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量

X

的概率分布为



,

2

,

1

,

}

{







i

p

x

X

P

i

i

易见

, 

X

的函数

)

(

X

g

Y



显然还是离散型随机变量

. 

如何由

X

的概率分布出发导出

Y

的概率分布

? 

其一般方法是：先根据自变量

X

的可能

取值确定因变量

Y

的所有可能取值

, 

然后对

Y

的每一个可能取值

,

,

2

,

1

,





i

y

i

确定相应的

},

)

(

|

{

i

j

j

i

y

x

g

x

C





于是

},

{

}

)

(

{

}

{

i

i

i

i

C

X

y

x

g

y

Y











.

}

{

}

{

}

{















i

j

C

x

j

i

i

x

X

P

C

X

P

y

Y

P

从而求得

Y

的概率分布

.