电磁场与电磁波笔记

1.库仑定律

2.恒定电场的散度——高斯定理

3静电场的旋度——无旋场

4.安培力定律 

5.毕奥-萨伐尔定律 

6.恒定磁场的散度 

7.恒定磁场的旋度（安培环路定理）

一.电特性——电介质的极化

1.先来看一个模型——电偶极子

2.在外电场的作用下媒质会产生极化，产生极化是什么意思？

3.对于极化的程度我们用“极化强度矢量”P来描述

4.再来看看引入的新的设定：极化电荷密度

5.再引入新的概念：电位移矢量

6.电介质中的高斯定理

二.磁特性——磁介质（同一个媒质，在讨论不同特性的时候称呼不同）的磁化

1.磁偶极距

2.磁化是什么样子

3.磁化强度

4.磁化电流密度

5.B是磁感应强度，现在引入磁场强度H

6.磁介质中的安培环路定理

三.媒质的传导特性

1.媒质内部的电场强度E（正常是用电荷计算的）和体电流密度J的关系

2.焦耳定律的微分形式

四.电磁感应定律和位移电流

1.法拉第电磁感应定律

2.位移电流

五.麦克斯韦方程组

1.认识麦克斯韦方程组（不附带任何条件）

2.媒质的本构关系（限定形式的麦克斯韦方程组）

六.电磁场的边界条件

1.用高斯定理解释电位移矢量的边界条件 

2.剩下的边界条件的物理意义

3.两种特殊条情况下的边界条件

注意！！！是真空中，在电磁学里面，真空中成立的定律在媒质中（物质中），往往不成立了，所以，前提非常重要。

静电场指的是，产生这个电场的电荷不随时间发生变化（既不运动，电荷量也不发生变化），这个电场也不随时间发生变化。

1.库仑定律

真空中两个点电荷之间的作用力F，与这两个点电荷的大小成正比，与距离的平方成反比。

若是要建立等式的话，那补上一个系数K就行。这个K的值为：1/4Πε0，（ε念“伊普西龙”）

ε0是真空中的介电常数，F的方向（肯定是分析其中一个电荷的受力）：若是两个点电荷相同则排斥，两个电荷不同则是吸引。

库伦定律的作用是用来定义电场强度，单位正电荷在电场中所受到的力就是这点的电场强度。

反过来，也能用电场强度求电荷受力。

一些命名：我们把产生电场的电荷所在的位置叫做“源点”，而把放入电荷所在的位置称为“场点”。

图中求极限是因为场点本身也会对电场造成影响，所以我们把电荷趋于0时，理想化，场点的电荷对电场不造成影响

最后约掉，得到的是一份方向和一份平方的模，这个写法有两个作用：一个是表示方向，一个是表示原来的平方的距离大小。同起点连终点方向指向被减向量，指向的是场点的方向。

dq意思是点电荷，这个公式求的是分布电荷（感觉就是把七零八落的电荷的影响汇总起来）的场强。

2.恒定电场的散度——高斯定理

把电场强度E用体电荷密度的形式写出来就是下面这个样子，求一个积分是为了得到q

电场的场源是电荷，对电场强度求其散度得到场源的计算，公式已经给我们准备好了，我不知道计算过程，但是可以直接使用现成的公式，之后若是有实力，把推导过程写出来。

（散度表示的是所求对象的通量源，我们取一个ΔV，穿过ΔV表面ΔS的通量就是我们的散度，这些通量是由电荷发出的，即电荷是电场的场源）

（若是我们对一个区域里面的电场都求其散度，我们就能确认这个区域里面电荷的密度是怎么分布的，也可以说是电荷是怎么分布的）

（这个是真空中静电场的一个基本公式）

这个是上面那个式子的积分形式，同样利用了散度定理，左手边是求E的散度（即E的场源）的体积分的化简结果，右手边的体积分就是这个体积内的电荷总量。

场源种类：

利用高斯公式解释电场E的求解公式：（就拿上面左手边的场源来解释电场E的求法）

对于这个球，我们知道，在球面上面的场强E都是相同的，所以E是可以提出来到公式外面的；还有方向问题，E和ds是同向的，还是点乘，得到就是标量，那计算就没有问题了。E提出后的积分得到的是这个圆球的表面积，再移到右手边，就得到了电场E的求解公式。当然方向我们可以从图中分析出来，后面再加上就行。

这个公式是我们常用的，下面这个电荷密度的积分形式的公式反而是我们不常用的（虽然本质是一样的）：

3.旋度——无旋场

静电场是个无旋场，旋度恒等于零（这是事实）单个电荷他的矢量线是一个射线，无旋场，异种电荷相互连接，会是曲线，但注意也是无旋场。

斯托克斯定理是用于对求旋度的化简，面积分变成线积分。

 现在对左手边进行化简，用斯托克斯定理，在求面积分之后，变成不含哈密顿运算符的线积分，求大圈dl的积分就行。再化简一下，就补一个1，把1当作电荷的大小，E·q是F，乘以路程求积分就是做的功，可以把左手边等于W，ok，这就是最简了。

真空中恒定磁场的基本规律 

注意恒定磁场由恒定电流I产生的

恒定电流产生恒定磁场，在确定磁场方向上，用右手定则，四指指向源点指向的方向，四指向场点位置弯曲，拇指指向磁场方向。

4.安培力定律

安培定律告诉我们：两个载流线圈之间有一个力的作用，力的作用的大小和电流的大小成正比，和距离成反比

5.毕奥-萨伐尔定律

 “毕奥-萨伐尔”定律和安培（力）定律是等同的，它描述的是磁感应强度，用字母B表示。

在导线上取一个电流元Idl’，方向加在dl’上，方向就是电流的方向

公式包含一个常数，μ0/4Π

包含变量：自变量I（dB大小与电流I成正比）和距离R方,

方向为dl’和aR的叉乘(dl’是取的特定长度,方向是电流的方向;aR是源点到场点连线，方向指向场点。至于方向怎么判断：恒定电流产生恒定磁场，在确定磁场方向上，用右手定则，四指指向源点指向的方向，四指向场点位置弯曲，拇指指向磁场方向)

上式求的是电流元产生的磁场大小。若是想求固定长度的导线的磁感应强度大小，对长度求的积分就行。

之前我们学过用体电流密度J表示电流元，现在我们将上式含I的电流源替换成体电流密度，并且我们要画平面直角坐标系，这样上面的距离R2,还有方向dl’和aR，就得换个方式重新表示。

切换为体电流密度后，我们再求积分就是对体积求积分了。

对于一根导线周围的磁场分布，用右手握一下就行了，右手拇指指向电流方向

6.恒定磁场的散度

由于磁场是涡旋源，磁感应强度B本身就是封闭的曲线，故散度为0

这个磁通连续性原理就是上面这俩公式，物理意义是：磁感应强度B穿过任何一个封闭曲面S一定是从一段穿入再从另一端穿出。（和电流连续性方程没有什么关系，电流连续性方程的本质是电荷不会凭空减小，所以用两种方式表示电荷减小速率，并且他俩是相同的）（没什么关系，只是看起来像）

7.恒定磁场的旋度（安培环路定理）

磁场是涡旋源，计算的公式就如计算电场的散度一样，直接给出了答案。我不知道怎么来的（电场的散度与电荷密度有关，而磁场的旋度与体电流密度有关）电流密度J是产生磁场的场源。

第一个式子是微分形式，第二个式子是积分形式

积分形式：两边同时求面积分，左手边用斯托克斯定理转换成了线积分，右手边一个常数一个J，对体电流密度求面积分得到的就是电流I

使用的话，这些电流的方向一定是在一个水平方向的，这样我们圈一个圈，才好直接对电流的正负进行运算，右手边得到电流，左手边算环量就行。

如果B是一个常量，那么我们就可以直接把B提出来，对长度求积分后把长度除到右手边来计算B的大小。

（注意，到现在为止我们的前提条件依然是在真空中的，散度和旋度是研究一个矢量场的一个最基本的计算，反应了场源的分布，静电场是一个保守场，旋度为0；磁场是一个涡旋场，散度为0）

下面开始我们开始从真空中走出来，讨论在媒质（又叫做电介质）中的电磁特性，包括媒质的电特性，磁特性以及导电特性。

一.电特性——电介质的极化

1.先来看一个模型——电偶极子：

电偶极距：将带等量异号电荷的电荷量q和两者之间的距离d相乘，得到电偶极子的电偶极距p，这是个矢量，方向与电力线（电力线反向和电场方向一致，从正电荷指向负电荷）方向相反。

电偶极子产生的场与距离的三次方成反比（之前我们E的公式是与平方成反比），在电偶极子远区的地方，场是很快的衰减掉了（这就是这个公式的作用，强调这个），原因就在于正负电荷把电力线束缚在正负电荷的局部。而且电偶极子产生的场与θ是有关的（这也是这个公式强调的）

2.在外电场的作用下媒质会产生极化，产生极化是什么意思？

外电场比较强的话，分子会在外电场的作用下排列整齐，正电荷顺着电场方向走，负电荷则相反，排列后的分子会形成自己的电场（正常情况下是杂乱无序的加上分子热运动，加上电偶极子在远处的电场是急速衰减的，远处是没有电场的），这就是真空和媒质的区别，媒质存在分子，在极化后也会产生场，于是在媒质中除了要考虑原有的场外，还要考虑这些分子极化后产生的场。

3.对于极化的程度我们用“极化强度矢量”P来描述

这个nΔV表示电偶极子的数量，计算极化的强度的判准就是电偶极子的矢量的整齐程度，要是都排列整齐了，那产生的电场肯定大呀，对圈定体积ΔV中电偶极距求矢量和，若是同向那肯定会累加，不同向数据就会减小。最后的结果越大，取向排列越整齐，极化程度越大。最后再让ΔV趋于零，得到极化强度矢量P

电偶极子是一正一负排列的，首位相连，极性相反就抵消了（电场可以叠加，算他们的电场也是抵消了的），没有被抵消的只有在电介质的表面上，一头是正，一头是负。只需要考虑这两头的电效应就行。

如果外电场是非均匀的，有可能中间（电介质内部）存在未被抵消的电荷。

4.再来看看引入的新的设定：极化电荷密度

这里的ρ和我们之前接触的体电荷密度和面电荷密度的符号是一样的，下标多一个表示极化强度矢量的字母P，这些密度都是某一点的密度。

极化体电荷密度算的是电介质内部的。

an的方向是电介质的外法线方向，外法线方向就是从媒质出发，指向媒质外的方向，就图上看是和电场方向同样水平方向的。

5.再引入新的概念：电位移矢量

电位移矢量D的物理意义是什么，不知道，但是求解的公式给出来了，就是第一个公式。

第二个式子是在给了咱电位移矢量和电场强度或者相对介电常数εr和电场强度的情况下来求解极化位移矢量。只有在有极化位移矢量P的前提下，我们才能求极化体电荷密度和极化面电荷密度。

至于式子怎么来的？不知道，之后有机会再了解吧。

聊聊电位移矢量D和E之间的关系，下面的式子中χe（念咔玛）为电极化率，是一个无量纲（没有单位）的常数。

（既然D和E的关系是一个倍数关系，那他们的方向一定是一致的咯？这点不太确定。）

对于线性的，各项同性的介质，εr为一个常数，记作C。另外，重要的是ε（介电常数），这是电位移矢量和电场E之间的转换条件。

6.电介质中的高斯定理

还记得对电场强度E求散度吗？得到的是ρ/ε0 ，对电位移矢量求散度直接得到的就是电荷密度ρ，P求散度直接没了。ρ是自由电荷密度，不是电介质中极化完的电荷密度。

对E求散度的高斯定理的体积分，还是用到散度定理进行化简，得到Q,相比前面对E用高斯定理的结果相比，ε0没了。

二.磁特性——磁介质（同一个媒质，在讨论不同特性的时候称呼不同）的磁化

（读音：ε念的都是“伊普西龙”；σ念的也是“西格玛”）

注意：讨论的是分子层面的；介质中存在分子电流

磁特性和电特性是对称的，我们再讨论电特性的时候讨论了“电偶极距”“极化是什么意思”“极化强度矢量”“极化电荷密度”“电位移矢量”“电介质中的高斯定理”

对称的，我们首先来看

1.磁偶极距

电偶极子是两个小的分子电荷，磁偶极子（一个模型）是一个小的分子电流。

磁偶极距表示方法是用分子电流I乘以这个环型分子电流的面积大小S，这个极距是一个矢量，方向由右手定则确定，记住确定的只是电偶极距的方向，不是磁场，不是电流，和他们没关系。

右边这幅图是一个分子电流横放的平视图，图中的是它产生磁场的分布情况。由公式可以看出，磁偶极子在远处的磁场也是急速衰减的。

2.磁化是什么样子

先来说说为什么普通的媒质它没有磁性，两个原因：一是磁偶极子在远处的磁场是急速衰减的，单个来说磁场比较弱；二是分子热运动导致磁偶极子的电流方向不统一，磁偶极子之间的磁场相互抵消，使得在宏观上显得没有磁场。除了铁磁性物质（排列整齐，是什么我没听清），顺磁性和抗磁性物质都不是很强，但是磁介质在外磁场的作用下，它的分子电流也会整齐排列，这就是磁化。

排列整齐后的分子电流开始对外显示一定的磁性，这样磁场就是外磁场和这些分子电流产生的磁场。

3.磁化强度

磁化强度矢量M的目的是为了描述分子电流的排列整齐程度。

对圈定范围内的磁化极距求矢量和，值越大说明排列越整齐。对于磁化后的磁介质来说，由无序变为有序，仍然存在和电偶极子一样的情况——抵消，两个分子电流接触的地方产生的磁场由于电流反向，产生的磁场相互抵消（右手握住的是电流线，不是让四根手指头顺着电流方向！），最后只剩下没有接触过的两个边界的电流（称为磁化电流或者束缚电流）表现出统一的磁场方向。

当出现外磁场不均匀，或者磁介质内部不均匀的话，会出现电介质极化一样的情况，产生未被抵消的电流，

4.磁化电流密度

磁化体电流密度：我们把这部分未抵消的电流求旋度得到磁化体电流密度。（M和磁感应强度B是一个性质的，求散度得电流密度应该没问题）

第二个式子中的an是单位矢量，方向是外法向~是外法向单位矢量。

5.B是磁感应强度，现在引入磁场强度H

这是计算公式

就和上面，电位移矢量和电场强度的关系一样，磁感应强度和磁场强度也存在相同模式的关系，通过磁导率建立转换关系。

χm（咔玛）是磁化率，对应电位移矢量的电极化率

μr是相对磁导率，μ是磁导率

对于线性、各项同性的磁介质，χm，μr、都是常数

6.磁介质中的安培环路定理

之前我们对B求旋度的时候，那个公式就是安培环路定理，这里对磁场强度H求散度，得到的是传导电流的电流密度，不是束缚（或者说磁化）电流的电流密度。

对于第二个式子来说，用到了斯托克斯定理来化简，这个式子的用法是，如果我们能找到一条路径，这条路径上的H大小相同，那么我们就可以把H当作常数提出去，结合已知的电流I求H的大小。

三.媒质的传导特性

1.媒质内部的电场强度E（正常是用电荷计算的）和体电流密度J的关系

电导率σ（西格玛）是E和J建立等式的系数

在导体中，E的方向是和电流密度的方向是一致的（正电荷顺着电场线走呀）

第一个式子非常常用。

上面第二个式叫做欧姆定律微分形式，是因为他把欧姆定律U=IR中的U替换成E·dl、把I替换成J·ds，就得到了上面化简后的式子。

注意，就算这个截面不是圆面，换成四边形也是一样成立的；而且这是直流电阻的计算公式。

2.焦耳定律的微分形式

用于计算热量

第一个式子算的P是一个点产生的热量，由上面J=σE，把J替换一下可以得到P=σE2，都是一样的。

第二个式子是积分形式，算的应该就是对应体积产生的总热量。

四.电磁感应定律和位移电流

1.法拉第电磁感应定律

随时间变化的磁场是产生涡旋场E的涡旋源，这里的E不是之前学的保守场，与静电场不一致。变化的磁场产生电场。矢量线是封闭的矢量线。右手边就是这个涡旋场的场源。

带负号的物理意义是，楞次定律告诉我们产生产生的电场是阻止磁场变化的。

麦克斯韦提出了“位移电流”的假说，对“电位移矢量D”求时间的导数，得到位移矢量。

2.位移电流

随时间变化的电场可以等效认为是电流——位移电流

举一个例子：交流电源对电容板进行充放电，电路没有形成闭环，但是电路中存在电流，通过电容的电流（电容介质中的）不是传导电流，是位移电流。

位移电流也能产生磁场。

位移电流和传导电流并不是在相同的空间出现，在导体中有传导电流，介质中存在位移电流。

五.麦克斯韦方程组

1.认识麦克斯韦方程组（不附带任何条件）

麦克斯韦方程组前提建立在认识“有旋电场的假说”以及“位移电流”上，是描述宏观电磁学的一个非常简洁的方程组。下面这两种形式的麦克斯韦方程式都不附带任何条件。在宏观电磁学中总是成立的。

四个方程组的意义：

第一个方程叫做全电流定律，表示的是电生磁，把传导电流和位移电流统统的都考虑进来，是全电流。左手边是磁场强度H，如果没有位移电流，那么磁场强度就只和传导电流有关。算上变化的电场产生的电路。这就是我们之前学习的安培环路定理，但是在电流方面更周延了。

第二个方程，是法拉第电磁感应定律，是描述的是变化的磁场产生电场

第三个方程，是磁通连续性定理，这个式子表示的是对磁感应强度求散度，涡旋源的散度一定为0.

第四个方程，是高斯定理嘛~q是这个曲面包围的自由电荷。

在麦克斯韦方程式里面是传导电流和自由电荷，注意这一点。

这是和麦克斯韦方程式积分形式对应的微分形式。

第一个式子右手边就是磁场强度H的涡旋源

第二个式子右手边是电位移矢量的通量源，电荷密度，但是指的是自由电荷的电荷密度。

第三个式子求的是磁场的散度，就是我们之前学的磁通连续性原理，涡旋场的散度为0嘛，表明磁场本身是一个磁场。

第四个式子右手边表示变化的磁感应强度是电场的涡旋源

从上面的第二个式子和第四个式子我们可以知道，电场可能是涡旋场也可能是通量场，而对于磁场来说，第一个和第三个式子他一直都是涡旋场，矢量线始终是封闭的。

2.媒质的本构关系（限定形式的麦克斯韦方程组）

电磁场和媒质之间是相互作用的，这个相互作用表现为外加电场时，媒质会发生极化，具有产生电场的性质；外加磁场时，媒质会发生磁化，具有产生磁场的性质。而对于媒质本身，它也会影响场。

这三个系数ε介电常数描述的是媒质的电特性，μ磁导率描述的是媒质的磁特性，σ电导率描述的是媒质的传传导特性。这三个参数是描述媒质的三个基本参数，我们强调媒介的各项同性和线性，如果没特殊说明，这三个参数对于同一个媒质来说，都是常数。若是我们把上面三个参数带入麦克斯韦方程组就是考虑了媒质本身的特性

六.电磁场的边界条件

1.用高斯定理解释电位移矢量的边界条件

在真空和介质的分界面上，场的分布规律是什么呢？这就是边界条件要研究的。

而这个边界条件就是麦克斯韦方程组在分界面上的具体表现形式，用麦克斯韦方程组来研究，用积分形式的麦克斯韦方程组来求（为什么不用微分形式，因为微分形式涉及求导，而分界面不连续，不存在导数）。

在图中我们规定从介质1指向介质2的边界面的法向方向为n的方向。我们研究介质分界面上场矢量的关系。怎么研究呢？让介质1和介质2处于同一个等式里面，自然能得分界面两边的关系。

电位移矢量D的大小因为处于不同的介质中而存在差异。我们所动用的式子是电介质中的高斯定律，麦克斯韦方程式的第四个式子。具体的做法是划定一定大小的体积，研究位移矢量D的积分和和它包围的电荷量Q之间列高斯定理，这个体积我们取一个无限薄的圆柱体，这样得出的才接近分界面两端的场关系，与规定的法向量方向相反的电位移矢量在计算的时候积分完会是负的，被减去，两边同时约去ΔS，剩下的就是分界面的面电荷密度和两边电位移矢量的关系。与规定法向量方向相反的电位移矢量一定是被减去的。

当然若是ρs=0，那说明D1=D2，相交面是同一个介质。

2.剩下的边界条件的物理意义

剩下这三公式我不知道怎么推的导致后面我理解出现困难，那就先别管，先记着这些结论，之后再补。

这个式子的地位，相当于求矢量场的散度和旋度公式一样重要和基础。

第二个式子的物理意义是：磁感应强度B的法向是连续的，换句话，意思两边是相同的。

第三个式子的物理意义是：电场强度E的切向是连续的。

这两个式子不就是说明，电场强度E和磁感应强度B和介质没关系。

第四个式子，对于磁场强度H来说，切向是不连续的，不同介质两边是不相同的，因为分界面上存在传导面电流（传导电流和位移电流本质是不一样的，位移电流的本质是变化的电场，而传导电流是自由电荷的定向移动，注意这里的符号是传导电流不是位移电流。），而如果没有传导面电流，那么磁场强度H就是相等的。

关于方向：磁场是平行于导体表面的，电场是垂直于导体表面的。

3.两种特殊条情况下的边界条件

①理想导体表面上的边界条件（与导体接触到可以是介质也可以是空气都行）

导体是一个等位体，其表面是等位面，导体内部的场为0，不管是磁场还是电场，不管是磁感应强度H、磁场强度B、电场强度E、电位移矢量D都是0

在这个前提下，如果导体表面存在电荷，那么只对外存在场，对内不存在，在只剩一个场的情况下，可以利用边界条件极为简单的求出各种场的大小，直接就能得到其中一个电位移矢量的大小。反过来，若是想求电荷密度ρ_s或者面电流密度J_s，只需要知道D或者H即可。

注意ρs如果是在导体表面，那就用这个式子去求是最简单的。

若是ρs和Js都是0，那H和B都是连续的；D和E也是连续的。

②理想介质表面上的边界条件

所谓的理想介质，意思是它的σ的值是0，根据公式J=σE，那电流也是等于0的，介质中不可能有电流。σ的值是0，电荷密度ρs也是0（至于为什么，我不造啊），符合上面的“若是ρs和Js都是0，那H和B都是连续的；D和E也是连续的”的条件。

okk，笔记记完了。