博弈论

博弈论——取石子问题 有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。

（一）巴什博奕（Bash Game）：

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。 显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=(m+1)r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走（k≤m）个，那么先取者再拿走m+1−k个，结果剩下 (m+1)×(r−1) 个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。 即，若n=k∗(m+1)，则后取着胜，反之，存在先取者获胜的取法。 n%(m+1)==0. 先取者必败。 这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。 从一堆100个石子中取石子，最后取完的胜。

（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0,1,2,…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。 可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k，奇异局势有 如下三条性质： 　　1. 任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。 　　由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak>ak−1，而bk=ak+k>ak−1+k−1=bk−1>ak−1。所以性质1.成立。 　　2. 任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。 　　事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由　　　于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。 　　3. 采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。 　　假设面对的局势是（a,b）， 　　 - 若 b=a，则同时从两堆中取走 a个物体，就变为了奇异局势（0，0）； 　　- 如果a=ak ，b>bk，那么，取走b−bk个物体，即变为奇异局势； 　　- 如果a=ak，bak ，b=ak+k,则从第一堆中拿走多余的数量a−a+k 即可； 　　 - 如果a0 那么必然存在取的方法，使得T′=0，先取者有获胜的方法 假设对方取了在Ai中取了r