【线性代数】矩阵的基本概念和运算性质

m行n列矩阵

当m=n时，成为方阵

一行数，即m=1

一列数，即n=1

1.两个矩阵的行和列都相同 2.对应位置的元素也要相同

每个元素都是0

记作：

是特殊的对角矩阵，一般记作 E E E or I I I

从一个 R n \R^n Rn空间映射到 R m R^m Rm空间。

加减法的前提条件：A和B矩阵在维度上相同（行列数相同） 注意： C = A + B C=A+B C=A+B C m × n C_{m\times n} Cm×n​ μ , λ ∈ R \mu,\lambda \in R μ,λ∈R

①A矩阵的行列 m × s m \times s m×s B矩阵的 s × n s \times n s×n，即A的s列等于B的s行才能相乘 A m × s × B s × n = C m × n A_{m \times s} \times B_{s\times n}=C_{m\times n} Am×s​×Bs×n​=Cm×n​

这是一图，我们人类看是这样的 在这里插入图片描述 （左图是我们人类可以识别的“1”，右图是电脑可以识别的矩阵列-1414） 为计算方便，我们这里假设图片是1010=100维的一个向量 长这样 将矩阵做一个特征空间变换，如下图 我们有一个10*10=100维的一个向量，经过W1（100*512）变换得到Y向量（512维） 补充：ReLU激活函数：简单之美

softmax 变换函数 Sigmod/Softmax变换 提一点：softmax函数将任意n维的实值向量转换为取值范围在(0,1)之间的n维实值向量，并且总和为1 经过softmax变换过后，实际上是将0-9这10个数字分类，得到每一个类别的概率，谁大归为谁！

矩阵的迹：主对角线元素之和 t r ( A ) = Σ a i i tr(A)=\Sigma a_{ii} tr(A)=Σaii​ 两个矩阵不满足交换律，但是 t r ( A B ) = t r ( B A ) tr(AB)=tr(BA) tr(AB)=tr(BA) 矩阵的转置： 行——>列 列——>行 记作 A T A^T AT

性质： 对称矩阵 定义：设A为 n n n阶方阵，如果满足 A T = A A^T=A AT=A，即 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij​=aji​ 性质：它的元素以对角线为对称轴对应相等。单位矩阵、对角矩阵都是对称阵 协方差矩阵 定义：它的定义来自于，N个样本，每个样本的特征维度为n X = ( x 1 T , , , , x N T ) N ∗ n T X=(x_{1}^T,,,,x_{N}^T)_{N*n}^T X=(x1T​,,,,xNT​)N∗nT​ X T = ( X 1 , X 2 , , , , , X N ) n ∗ N X^T=(X_1,X_2,,,,,X_N)_{n*N} XT=(X1​,X2​,,,,,XN​)n∗N​ X T X n ∗ n X^TX_{n*n} XTXn∗n​为样本N的协方差矩阵 协方差矩阵就是对称阵