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伴随矩阵的性质

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伴随矩阵的性质

2023-12-30 22:11| 来源: 网络整理| 查看: 265

伴随矩阵为：矩阵里的每个元素，求代数余子式，并且转置排列，得到伴随矩阵，标志为 $A^{*}$

$AA^{*}=A^{*}A=\left | A \right |E$

矩阵A与其伴随矩阵的乘积为，行列式的值乘以单位矩阵

————这是伴随矩阵跟原矩阵和行列式的关系

如果A可逆，由此可得A的伴随矩阵与A的逆矩阵直接的关系

$\frac{A^{*}A}{\left | A \right |}=\frac{\left | A \right |E}{\left | A \right |}$

因为A的行列式是一个数值，所以可以除，无所谓

$\frac{A^{*}A}{\left | A \right |}=\frac{\left | A \right |E}{\left | A \right |}=E=\left ( \frac{A^{*}}{\left | A \right |} \right )A$

可得 $A^{-1}= \frac{A^{*}}{\left | A \right |}$

所以A的逆等于A的伴随矩阵除以A的行列式

$\left | A \right |A^{-1}=A^{*}$

这个就是上面推出来的式子将行列式的值换了个位置罢了

$A^{-1}\left | A \right |=\frac{A^{*}\left | A \right |}{\left | A \right |}$

行列式就是一个值，随便换位置呗

————这是伴随矩阵跟逆矩阵和行列式的一些关系

下面是一些性质 1、 $\left | A^{*} \right |=\left | A \right |^{n-1}$

A为n阶方阵

A的伴随矩阵的行列式，等于，A的行列式的n-1次方

$A^{*}$ 不好表达，我们可以将其用 $A^{-1}\left | A \right |$ 来表达

所以要求的是 $\left | A^{-1}\left | A \right | \right |$ 的值

我们知道一个矩阵乘以一个值是遍乘，这个矩阵里的每个数都需要乘以这个值

但是行列式提取数的话，是以一整行或一整列来提取值的

所以将 $\left | A \right |$ 的值在行列式里提取出来的话就是 $\left | A \right |^{n}$

$\left | A^{-1} \right |=\frac{1}{\left | A \right |}$ A逆的行列式等于A行列式的倒数，这个很简单，因为A与A逆乘积的行列式为1呀

$\left | A^{*} \right |=\left | A^{-1}\left | A \right | \right |=\frac{\left | A \right |^{n}}{\left | A \right |}=\left | A \right |^{n-1}$

2、 $(A^{*})^{-1}=\frac{A}{\left | A \right |}$

证明：

求 $A^{*}$ 的逆，就是求 $\left | A \right |A^{-1}$ 的逆

$\left | A \right |$ 是一个值昂，所以 $\left | A \right |A^{-1}$ 的逆不就是 $\frac{A}{\left | A \right |}$

3、 $(A^{*})^{T}=(A^{T})^{*}$

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积，即 $\left | A \right |A^{-1}$

$(\left | A \right |A^{-1})^{T}=\left | A^{T} \right | (A^{T})^{-1}=(A^{T})^{*}$

一个行列式*一个逆，那不就是 $A^{T}$ 的伴随么

4、 $\left ( kA \right )^{*}=k^{n-1}A^{*}$

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积，即 $\left | kA \right |(kA)^{-1}$

$\left | kA \right |(kA)^{-1}=k^{n}\left | A \right |\frac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}A^{*}$

5、 $(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积

$|A^{*}|(A^{*})^{-1}=||A|A^{-1}|(|A|A^{-1})^{-1}=|A|^{n-1}\frac{A}{|A|}=|A|^{n-2}A$

6、 $(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积

$(AB)^{*}=|AB|(AB)^{-1}=|A||B|B^{-1}A^{-1}=|B|B^{-1}|A|A^{-1}=B^{*}A^{*}$

行列式是值，可以随意换位置，所以可以看出，脱括号还是置反顺序的。

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