线性代数矩阵及其运算

2024-07-11 18:05| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录 1 矩阵概念 1.1 矩阵的定义 1.2 与行列式的区别 1.3 矩阵分类 1.3.1 实矩阵与复矩阵 1.3.2 零矩阵 1.3.3 方阵 1.3.4 行矩阵与列矩阵 1.3.5 单位阵 1.3.6 同型矩阵 2 矩阵的运算 2.1 矩阵的加减法 2.2 矩阵的数乘运算 2.3 矩阵乘法 2.3.1 定义 2.3.2 注意点 2.3.2.1 不一定满足交换律 2.3.2.2 没有零元 2.3.3 性质 2.3.3.1 满足结合律与分配律 2.3.3.2 与零矩阵相乘 2.3.3.3 与单位阵相乘 2.4 矩阵的幂（只有方阵才有幂） 2.4.1 定义 2.4.2 性质 2.4.3 注意点 2.4.4 例题 2.5 矩阵的转置 2.5.1 定义 2.5.2 运算规律 3 特殊矩阵（方阵） 3.1 数量矩阵 3.2 对角形矩阵 3.3 上（下）三角形矩阵 3.4 对称与反对称矩阵 3.4.1 对称矩阵 3.4.1.1 定义 3.4.1.2 性质 3.4.2.3 定理 3.4.2 反对称矩阵 3.4.2.1 定义 4 逆矩阵 4.1 方阵的行列式 4.1.1 定义 4.1.2 运算规则 4.1.3 伴随矩阵 4.1.3.1 定义 4.1.3.2 注意点 4.1.3.3 性质 4.2 逆矩阵的定义 4.3 逆矩阵的性质 4.4 逆矩阵的运算规律 4.5 逆矩阵的求法 4.5.1 伴随矩阵法 4.5.2 初等变换法 4.6 逆矩阵的初步应用 4.6.1 例题1 4.6.1.1题目描述 4.6.1.2 解题思路 4.6.1.3 技巧总结 4.6.2 例题2 4.6.1.1题目描述 4.6.1.2 解题思路 4.6.1.3 技巧总结 4.6.3 解矩阵方程 4.6.3.1 题目描述 4.6.3.2 解题思路 4.6.3.3 技巧总结

1 矩阵概念 1.1 矩阵的定义

m × n m \times n m×n 个数，构成的 m m m 行 n n n 列的数表

[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] \begin{bmatrix} a_{11} ; a_{12} ; \cdots ; a_{1n}\\ a_{21} ; a_{22} ; \cdots ; a_{2n}\\ \vdots ; \vdots ; ; \vdots\\ a_{m1} ; a_{m2} ; \cdots ; a_{mn}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤

称为 m m m 行 n n n 列矩阵，简称 m × n m \times n m×n 矩阵

1.2 与行列式的区别行列式矩阵本质一个数数表符号 | | ( ) [] 形状行数 = 列数（方的）行数不一定等于列数 1.3 矩阵分类 1.3.1 实矩阵与复矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵

元素是复数的矩阵称为复矩阵

1.3.2 零矩阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作

O m × n = [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] O _ {m \times n} = \begin{bmatrix} 0 ; 0 ; \cdots ; 0\\ 0 ; 0 ; \cdots ; 0\\ \vdots ; \vdots ; ; \vdots\\ 0 ; 0 ; \cdots ; 0\\ \end{bmatrix} Om×n=⎣⎢⎢⎢⎡00⋮000⋮0⋯⋯⋯00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤

1.3.3 方阵

行数与列数相同的矩阵称为方阵

1.3.4 行矩阵与列矩阵

只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量），常用 a , α , x a, \alpha, x a,α,x 表示

只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量），常用 a T , α T , x T a ^ T, \alpha ^ T, x ^ T aT,αT,xT 表示

1.3.5 单位阵

对角线上元素全是 1 1 1 ，其他元素全是 0 0 0 ，的方阵称为单位阵，记作：

E n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] E _ n = \begin{bmatrix} 1 ; 0 ; \cdots ; 0\\ 0 ; 1 ; \cdots ; 0\\ \vdots ; \vdots ; ; \vdots\\ 0 ; 0 ; \cdots ; 1\\ \end{bmatrix} En=⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤

1.3.6 同型矩阵

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵

若两个矩阵为同型矩阵，且它们对应元素相等，即

a i j = b i j ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_{ij} = b_{ij} (i = 1, 2, \cdots, m; j = 1, 2, \cdots, n) aij=bij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)

那么就称矩阵 A A A 与矩阵 B B B 相等，记作

A = B A = B A=B

注意：不同型的零矩阵是不同的

2 矩阵的运算 2.1 矩阵的加减法

只有同型矩阵才能相加减

A + B = [ a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ] A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} ; a_{12} + b_{12} ; \cdots ; a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} ; a_{22} + b_{22} ; \cdots ; a_{2n} + b_{2n}\\ \vdots ; \vdots ; ; \vdots\\ a_{m1} + b_{m1} ; a_{m2} + b_{m2} ; \cdots ; a_{mn} + b_{mn}\\ \end{bmatrix} A+B=⎣⎢⎢⎢⎡a11+b11a21+b21⋮am1+bm1a12+b12a22+b22⋮am2+bm2⋯⋯⋯a1n+b1na2n+b2n⋮amn+bmn⎦⎥⎥⎥⎤

A − B = [ a 11 − b 11 a 12 − b 12 ⋯ a 1 n − b 1 n a 21 − b 21 a 22 − b 22 ⋯ a 2 n − b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 − b m 1 a m 2 − b m 2 ⋯ a m n − b m n ] A - B = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} ; a_{12} - b_{12} ; \cdots ; a_{1n} - b_{1n}\\ a_{21} - b_{21} ; a_{22} - b_{22} ; \cdots ; a_{2n} - b_{2n}\\ \vdots ; \vdots ; ; \vdots\\ a_{m1} - b_{m1} ; a_{m2} - b_{m2} ; \cdots ; a_{mn} - b_{mn}\\ \end{bmatrix} A−B=⎣⎢⎢⎢⎡a11−b11a21−b21⋮am1−bm1a12−b12a22−b22⋮am2−bm2⋯⋯

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