转置矩阵

如果 M 是一个 m × n 矩阵，然后 M 的 转置，表示为 MT ，是 n×m 矩阵的行和列互换得到的矩阵 M. 这些是矩阵转置的示例。 a) 矩阵 A 有一行，大小（或顺序） 1 ×3 。 矩阵 A 的转置是通过将矩阵的行交换为列来获得的。 因此矩阵 A 的转置大小为 3 × 1 并用 AT 表示，由下式给出

b) 矩阵 B 的转置，该矩阵有一列，大小为 4 × 1，是将矩阵的列换成行得到的。 因此矩阵 B 的转置阶数为 1 × 4 并表示为 BT 由下式给出

c) 矩阵 C 的大小为 2 × 3 。 该矩阵的转置是通过将矩阵的行交换为列（或将列交换为行）来获得的。 因此，矩阵 C 的转置 CT 具有顺序 3 × 2 由下式给出

d) \( D = \begin{bmatrix} 2 & - 5 & 9 \\ -7 & 0 & 9 \\ 1 & -2 & 11 \end{bmatrix} \) 阶数为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵 \( D \) 的转置是通过将矩阵的行交换为列（或将列交换为行）来获得的。 因此矩阵 \( D \) 的转置 \( D^T \) 的阶数为 \( 3 \times 3 \) ，由下式给出 \( D^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 & 1 \\ - 5 & 0 & -2 \\ 9 & 9 & 11 \end{bmatrix} \) 注意给定矩阵转置的行是矩阵的列，转置的列是矩阵的行。

下面给出了矩阵转置的一些最重要的属性。

例子 1 求矩阵的转置： a) \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)      b) \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \)      c) \( C = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 1 & -4 \\ 0 & -1 \\ 7 & -4 \\ \end{bmatrix} \)

解决方案 我们通过交换行和列来找到矩阵的转置，如下所示： a) \( A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)      b) \( B^T = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)      c) \( C^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 & 7 \\ -7 & -4 & -1 & -4 \end{bmatrix} \)

例子 2 矩阵 \( A \) 和 \( B \) 由下式给出 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \) , \( B = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \). 证明 \( (AB)^T = B^T A^T \) （验证上面的性质 2）。

解决方案 计算\(AB\) \( AB = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} \) 计算 \( (AB)^T \) \( (AB)^T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} \)

确定\(A^T\)和\(B^T\) \( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) , \( B^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \) 计算 \( B^T A^T \) \( B^T A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} \) 因此 \( (AB)^T = B^T A^T \)

例子 3 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \) 显示那 \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \) (验证上面的属性 5).

解决方案 计算\(A^T\) \( A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \) 使用逆矩阵的公式 一个\( 2 \times 2 \) 矩阵\( \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \\ \end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz} \begin{bmatrix} w & - y \\ - z & x \\ \end{bmatrix} \) to find \( (A^T)^{-1} \) \( (A^T)^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

使用上面给出的 \( 2 \times 2 \) 矩阵的逆矩阵的相同公式来找到 \( A^{-1} \) \( A^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & -\dfrac{1}{2}\\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

我们现在计算 \( (A^{-1}) ^T \) \( (A^{-1}) ^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

因此我们得出结论 \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \).

例子 4 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 证明 \( Det(A^T) = Det(A) \) （验证上面的属性 6）

解决方案 使用上面一行计算 \( Det(A) \) 使用上面一行计算 \( Det(A) \) \( Det(A) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 (0 - 2(-2) ) = 2 \)

计算 \( A^T \) \( A^T \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \) 使用最左边的列计算 \( Det(A^T) \) \( Det(A^T) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 ( 0 - 2(-2)) = 2 \) 因此我们得出结论 \( Det(A^T) = Det(A) \)

例子 5 使用上面的属性 7 可以证明矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3\\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix} \) 不是对称矩阵。

解决方案 计算\(A^T\) \( A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix} \) 我们可以验证 \( A_{2,3} = 5 \) 处的条目和 \( A^T_{2,3} = - 5 \) 处的条目，因此矩阵 \( A^T \) 和 \ ( A \) 不相等，这意味着矩阵 \( A \) 不对称。

评估 \( A^T A \) \( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -3\\ -3 & -3 & 9 \end{bmatrix} \)

计算 \( A A^T \) \( A A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \) 两个矩阵 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 都是对称的。

计算\( A A^T \) \( A A^T = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

计算 \( A^T A\) \( A^T A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)

\( \quad \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

结果表明 \( A A^T = A^T A = I_3 \) 并且根据定义