矩阵论（1）三种常见的矩阵范数

本次博客参考了：http://blog.csdn.net/left_la/article/details/9159949 感谢原博主简明扼要的概括以及matlab代码提供！

∥A∥1=maxj∑mi=1∣∣aij∣∣ 将矩阵沿列方向取绝对值求和，然后擢选出数值最大的那个值作为1-范数。 比如：

第一列求和结果为：|1|+|4|+|7|=12 第二列求和结果为：|2|+|5|+|8|=15 第三列求和结果为：|3|+|6|+|9|=18 里面最大的就是18，因此矩阵A的列和范数为18。

∥A∥2=λ1−−√ 这一部分涉及到的我不懂的概念比较多，接下来一一说明。

A∗ 指的是A的共轭转置矩阵，也有 AH 这个写法。如果A里面全是实数，那效果就与 AT 无二；如果A里面也有复数，则是先对A取共轭（各项实部不变，虚部取相反数），然后再转置，比如：

在matlab中A’的意思就是求共轭转置矩阵。

矩阵A的特征值被定义为： A v⃗ =λ v⃗  其中 v⃗  被称为“矩阵A的特征向量”，λ被称为“矩阵A的特征值”。 在matlab中求解矩阵A的特征值方法如下：

矩阵V的每一列都是一个特征向量，D中对应列中的值即与该特征向量相匹配的特征值。以上例V、D第一列为例，此时特征值λ=16.1168，特征向量 v⃗ =[−0.2320,−0.5253,−0.8187]T ，用matlab作验证如下：

可知满足 A v⃗ =λ v⃗  。

矩阵的2-范数即对矩阵 A∗A 最大特征值 λ1 开方，如下：

（这里最大特征值为283.8586）

当然，matlab中也有更直接的计算矩阵2-范数的方法，如下：

两种方法计算出的结果是一样的。

∥A∥∞=maxi∑nj=1∣∣aij∣∣ 和1-范数（列和范数）类似，这里是沿行方向取绝对值求和，将最大的那个值作为矩阵的∞-范数。matlab代码如下：

第一行求和结果为：|1|+|2|+|3|=6 第二行求和结果为：|4|+|5|+|6|=15 第三行求和结果为：|7|+|8|+|9|=24 里面最大的就是24，因此矩阵A的行和范数为24。

2016.9.27 by 悠望南山