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前置知识: 【定义】向量与向量组前置定理 1 设 A \boldsymbol{A} A 和 B \boldsymbol{B} B 为 $m \times n $ 矩阵,那么 A ∼ r B \boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B} A∼rB 的充分必要条件是存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P,使 P A = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} PA=B; A ∼ c B \boldsymbol{A} \stackrel{c}{\sim} \boldsymbol{B} A∼cB 的充分必要条件是存在 n n n 阶可逆矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q,使 A Q = B \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} AQ=B; A ∼ B \boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B} A∼B 的充分必要条件是存在 m m m 阶可逆矩阵 P \boldsymbol{P} P 和 n n n 阶可逆矩阵 Q \boldsymbol{Q} Q,使 P A Q = B \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B} PAQ=B。证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。 1 向量组等价与矩阵等价的关系下面讨论向量组等价与矩阵变换的关系。 把向量组 A A A 和 B B B 所构成的矩阵依次记作 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) A = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) A=(a1,a2,⋯,am) 和 B = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) B = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) B=(b1,b2,⋯,bl)。若向量组 B B B 能由向量组 A A A 线性表示,则有向量组 B B B 中的每个向量 b j ( j = 1 , 2 , ⋯ , l ) \boldsymbol{b}_j \ (j=1,2,\cdots,l) bj (j=1,2,⋯,l) 都能由向量组 A A A 线性表示,根据定义 5,即存在一组数 k 1 j , k 2 j , ⋯ , k m j k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{mj} k1j,k2j,⋯,kmj,使 b j = k 1 j a 1 + k 2 j a 2 + ⋯ + k m j a m = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) ( k 1 j k 2 j ⋮ k m j ) \boldsymbol{b}_j = k_{1j} \boldsymbol{a}_1 + k_{2j} \boldsymbol{a}_2 + \cdots + k_{mj} \boldsymbol{a}_m = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \begin{pmatrix} k_{1j} \\ k_{2j} \\ \vdots \\ k_{mj} \end{pmatrix} bj=k1ja1+k2ja2+⋯+kmjam=(a1,a2,⋯,am) k1jk2j⋮kmj 从而有 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) ( k 11 k 12 ⋯ k 1 l k 21 k 22 ⋯ k 2 l ⋮ ⋮ ⋮ k m 1 k m 2 ⋯ k m l ) (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m) \begin{pmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1l} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k_{m1} & k_{m2} & \cdots & k_{ml} \end{pmatrix} (b1,b2,⋯,bl)=(a1,a2,⋯,am) k11k21⋮km1k12k22⋮km2⋯⋯⋯k1lk2l⋮kml 这里,矩阵 K m × l = ( k i j ) \boldsymbol{K}_{m \times l} = (k_{ij}) Km×l=(kij) 称为这一线性表示的系数矩阵。 由此可知,若 C m × n = A m × l B l × n \boldsymbol{C}_{m \times n} = \boldsymbol{A}_{m \times l} \boldsymbol{B}_{l \times n} Cm×n=Am×lBl×n,则矩阵 C \boldsymbol{C} C 的列向量组能由矩阵 A \boldsymbol{A} A 的列向量组线性表示, B \boldsymbol{B} B 为这一表示的系数矩阵: ( c 1 , c 2 , ⋯ , c n ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a l ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b l 1 b l 2 ⋯ b l n ) (\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_n) = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_l) \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{l1} & b_{l2} & \cdots & b_{ln} \end{pmatrix} (c1,c2,⋯,cn)=(a1,a2,⋯,al) b11b21⋮bl1b12b22⋮bl2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bln 同理可知,矩阵 C \boldsymbol{C} C 的行向量组能由矩阵 B \boldsymbol{B} B 的行向量组线性表示, A \boldsymbol{A} A 为这一表示的系数矩阵: ( γ 1 T γ 2 T ⋮ γ m T ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 l a 21 a 22 ⋯ a 2 l ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a l l ) ( β 1 T β 2 T ⋮ β l T ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{\gamma}_1^T \\ \boldsymbol{\gamma}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{\gamma}_m^T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1l} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2l} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{ll} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_1^T \\ \boldsymbol{\beta}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_l^T \end{pmatrix} γ1Tγ2T⋮γmT = a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1la2l⋮all β1Tβ2T⋮βlT 根据前置定理 1:设矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 行等价,即矩阵 A \boldsymbol{A} A 经初等行变换变成矩阵 B \boldsymbol{B} B,则 B \boldsymbol{B} B 的每个行向量都是 A \boldsymbol{A} A 的行向量组的线性组合,即 B \boldsymbol{B} B 的行向量组能由 A \boldsymbol{A} A 的行向量组线性表示。由于初等变换可逆,知矩阵 B \boldsymbol{B} B 亦可经初等行变换变为 A \boldsymbol{A} A,从而 A \boldsymbol{A} A 的行向量组也能由 B \boldsymbol{B} B 的行向量组线性表示。于是 A \boldsymbol{A} A 的行向量组与 B \boldsymbol{B} B 的行向量组等价。 类似可知,设矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 列等价,则 A \boldsymbol{A} A 的列向量组与 B \boldsymbol{B} B 的列向量组等价。 于是得到定理如下: 定理 1 若矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 行等价,则 A \boldsymbol{A} A 的行向量组与 B \boldsymbol{B} B 的行向量组等价。若矩阵 A \boldsymbol{A} A 与 B \boldsymbol{B} B 列等价,则 A \boldsymbol{A} A 的列向量组与 B \boldsymbol{B} B 的列向量组等价。 2 向量组等价与方程组可互推的关系对方程组 A A A 的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组 A A A 的一个线性组合;若方程组 B B B 的每个方程都是方程组 A A A 的线性组合,就称方程组 B B B 能由方程组 A A A 线性表示,这时方程组 A A A 的解一定是方程组 B B B 的解;若方程组 A A A 与方程组 B B B 能相互线性表示,就称这两个方程组可互推,可互推的线性方程组一定同解。 |
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