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【信号与系统】（七）连续系统的时域分析
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文章目录
卷积积分1 信号的时域分解2 任意信号作用下的零状态响应3 卷积积分4 卷积积分的图解法5 卷积积分的代数性质6 奇异函数的卷积特性7 卷积的微积分性质8 卷积的时移特性9 常用的卷积重要公式10 卷积的多种求解方法11 用梳状(comb)函数卷积产生周期信号12 矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
卷积积分
1 信号的时域分解
(1) 预备知识
直观看出 “0”号脉冲高度 f ( 0 ) f(0) f(0), 宽度为 Δ Δ Δ，用 p ( t ) p(t) p(t)表示为： f ( 0 ) Δ p ( t ) f(0)Δp(t) f(0)Δp(t) “1”号脉冲高度 f ( Δ ) f(Δ) f(Δ),宽度为 Δ Δ Δ，用 p ( t − Δ ) p(t-Δ) p(t−Δ)表示为： f ( Δ ) Δ p ( t − Δ ) f(Δ)Δp(t-Δ) f(Δ)Δp(t−Δ) “-1”号脉冲高度 f ( − Δ ) f(-Δ) f(−Δ),宽度为 Δ Δ Δ, 表示为 f ( − Δ ) Δ p ( t + Δ ) f (-Δ)Δp(t+Δ) f(−Δ)Δp(t+Δ)
信号先时域分解为冲激信号，再作用到系统。
——与信号分解的过程互逆的，卷积是通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子，且其中的函数不一定是冲激信号。 已知定义在区间
(
–
∞
,
∞
)
(–∞,∞)
(–∞,∞)上的两个函数
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)和
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)，则定义积分 为
f
1
(
t
)
f_1(t)
f1(t)与
f
2
(
t
)
f_2(t)
f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 注意：积分是在虚设的变量 τ τ τ下进行的， τ τ τ为积分变量， t t t为参变量。结果仍为 t t t的函数。( t t t用来对 f 2 f_2 f2定位， τ \tau τ用来对全局进行积分)可演变其他上下限. f 1 ( t ) = f 1 ( t ) ε ( t ) ： ∫ 0 + ∞ f_1(t)=f_1(t)\varepsilon(t)：\int_{0}^{+\infty} f1(t)=f1(t)ε(t)：∫0+∞ f 2 ( t ) = f 2 ( t ) ε ( t ) ： t > τ ， ∫ − ∞ t f_2(t)=f_2(t)\varepsilon(t)：t>\tau，\int_{-\infty}^t f2(t)=f2(t)ε(t)：t>τ，∫−∞t f 1 ( t ) = ε ( t ) ， f 2 ( t ) = ε ( t ) ： ∫ 0 t f_1(t)=\varepsilon(t)，f_2(t)=\varepsilon(t)：\int_{0}^t f1(t)=ε(t)，f2(t)=ε(t)：∫0t
卷积过程可分解为四步： 注意： t t t为参变量。
f ( t ) = 1 / 2 ， h ( t ) = t f(t)=1/2，h(t)=t f(t)=1/2，h(t)=t 第四个图是的值是第三个图形的对应区间的面积 说明： （1）图解法重在概念解释，一般适用于简单图形； （2）求某一时刻卷积值时比较方便； （3）确定积分的上下限是关键
1 满足乘法的三律：
2 复合系统的冲激响应
求解卷积的方法可归纳为： (1)利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 (2)图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 (3)利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
卷积的时移特性 计算函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)与
δ
T
(
t
)
δ_T(t)
δT(t)的卷积： 讨论： (1)当
T
>
τ
T > τ
T>τ 时，
f
T
(
t
)
f_T (t)
fT(t)中每个周期内的波形与 f (t) 相 同； (2)若
T
<
τ
T < τ
T
τ
：
T>\tau：
T>τ：
结论：两个不同宽的门函数卷积时，其结果为梯形函数，梯形函数的高度为窄门的门宽（面积），其上底为两个门函数宽度之差绝对值，下底为两个门函数宽度之和。 《工程信号与系统》作者：郭宝龙等 国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟 |
(2)任意信号分解 
上式就是卷积运算
lim
Δ
→
0
：
Δ
→
d
τ
n
Δ
→
τ
∑
→
∫
\lim\limits_{\Delta\rightarrow0}：\qquad\Delta\rightarrow d\tau\qquad n\Delta\rightarrow\tau\qquad \sum\rightarrow\int
Δ→0lim：Δ→dτnΔ→τ∑→∫
p
(
t
−
n
Δ
)
→
δ
(
t
−
τ
)
p(t-n\Delta)\rightarrow\delta(t-\tau)
p(t−nΔ)→δ(t−τ)
注意是关于
t
t
t的函数
τ
\tau
τ是参变量
ε
(
t
)
：
t
>
0
\varepsilon(t)：t>0
ε(t)：t>0
周期为
T
T
T的周期单位冲激函数序列，常称为梳状函数。 
卷积的结果: 依然是周期信号，其周期为
T
T
T。
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