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1. 迹(trace)
矩阵的迹(trace)表示矩阵 A AA 主对角线所有元素的和 迹的来源最根本的应该就是迹和特征值的和相等。因为特征值如此重要,所以才定义了迹。离开了这一点,我觉得迹也就失去了立足点。 迹与特征值一直在用迹等于特征值的和来求特征值,但从来没有想过二者究竟是怎么联系起来的。没事儿就重新推了一遍。 一元二次方程的根与系数的关系先看一元二次方程。 推广至一元n次方程 特征值分开来写就是: 其实质也是一个以 λ λ λ为未知数的一元n次方程。展开后可以得到如下的形式: λ n + ( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) λ n − 1 + a 11 a 22 ⋯ a n n + ⋯ = 0 \lambda^n+(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+a_{11}a_{22}\cdots{a_{nn}}+\cdots=0 λn+(a11+a22+⋯+ann)λn−1+a11a22⋯ann+⋯=0 从而可以得到 λ \lambda λ的所有解的和等于 ( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) (a_{11}+a{22}+\cdots+a_{nn}) (a11+a22+⋯+ann)。也就是矩阵的特征值的和等于矩阵的迹。 2. 行列式(determinant)矩阵 A AA 的行列式值记为 d e t ( A ) det ( A ) det(A)。 行列式对一个2x2的矩阵来说就是一个 平行四边形, 在四个边沿自己的方向变化时,这个平行四边形的面积就会变化。 扩展到3x3的矩阵,那行列式 就是一个 平行六面体,同样的,在每个边沿自己的方向变化的时候,这个平行六面体的体积就会变化。 3. 迹与行列式的关系迹可以理解为行列式的导数,所以也就表示了在每个边沿自己的方向变化时,该平行四边形的面积或者平行六面体的体积变化的大小。这实际上和特征值非常相关,迹是特征值的和,行列式是特征值的积。 4. 如何理解矩阵的迹确实,“迹”就是线性变换藏在矩阵中痕迹。 上面那幅图还有个有意思的地方,用了金、篆、隶、楷来写“迹”字,虽然各有千秋,却又“相似”,彷佛在暗示,线代中的“迹”反映出矩阵“相似”这个特征。 本文准备如下来讲解: 什么是线性变换? 同一个线性变换在不同基下的矩阵,就是相似矩阵 相似矩阵的“迹”都相等 相似矩阵的“迹”、行列式、特征值的关系 a. 什么是线性变换http://www.360doc.com/content/18/0208/09/15930282_728535853.shtml 这其实也是线性函数,只是一般我们把这称为线性变换。 综合上面两点,其实,所谓矩阵就是指定基下的线性变换。 b. 同一个线性变换在不同基下的矩阵,就是相似矩阵之前提到的线性变换,为了示意整个平面的点都被变换了,我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换(增加一个参考点 x ⃗ \vec{x} x 方便观察): 可见,这就是一个围绕蓝点旋转的线性变换,并且作为文章作者,我可以准确的告诉你,所有的点旋转了 弧度(蓝点,即中心点也可以认为旋转了 弧度)。 我们来看看不同基下的矩阵是什么样子的。 下面我会给出所有具体的数字,你可以去计算一下,省得说我骗你。 b.1 标准正交基下的矩阵 A如何理解矩阵的乘法?https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyMTU0NDMyNA==&mid=2247487771&idx=1&sn=af57d5d9f60ac742e17aa77c8226f30e&chksm=e83a7bf0df4df2e67c323669e537a7e74267c53652c6b9312c401c717a9fd0c2836eba718fff&scene=21#wechat_redirect b.2 另外一个基下的矩阵可见淡蓝色网格代表的线性变换是没有发生变化的,只是基不一样了。 矩阵具体计算出来就是: 为什么这么计算,就请查看如何理解相似矩阵这篇文章了。 https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyMTU0NDMyNA==&mid=2247486892&idx=1&sn=5c2529222992792248b1c9a0d950b6ec&chksm=e83a6747df4dee519d8f0b546ff231711a8d847adc28f1120452f87c58c256962bc3a2988e93&scene=21#wechat_redirect b.3 相似矩阵 c 相似矩阵的“迹”都相等这个线性变换,悄悄在这两个相似矩阵A、B中留下了痕迹,就是它们的主对角线之和相等: 主对角线之和因此称为“迹”。 从另外一个观点来看,我们也可以认为“迹”与坐标无关,也可以说“迹”是相似不变量。 d 相似矩阵的“迹”、行列式、特征值的关系 d.1 行列式因为A、B代表同一个线性变换,而根据行列式的意义,行列式代表的是线性变换的伸缩比例。 既然是比例,那么也和坐标无关: 行列式又是一个相似不变量。 d.2 特征值特征值是两个复数。 你的相貌随着年岁变换,我却还能一眼认出,就是因为其中藏着特征。 什么是特征,不被变换所改变的就是特征。 迹、行列式都是相似变换中的不变量,也就是线性变换的特征,现在全部被特征值表示了出来。看来特征值这个名字名副其实啊。 e 写在最后行列式、迹似乎都是相似不变量,为什么把“迹”叫这个名字呢? 我想或许是“迹”是对角线之和,更容易一眼看出去来吧。 在历史中为什么命名为“迹”,对于我而言已经不可考了,或许这位先哲也曾经这样思考过吧。 http://www.360doc.com/content/18/0208/09/15930282_728535853.shtml http://chenbinpeng.com/2017/02/06/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E8%BF%B9/ https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/88576194 |
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