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什么是特征值和特征向量
A为一个N阶方阵,为一个向量,为一个值。 满足上述等式,则称为一个特征向量,为一个特征值 注:1、方阵才有特征值、特征向量,非方阵没有 2、特征向量 3、设,则复数范围内,A恰有N个特征值 4、对于每个特征值,都有无穷个特征向量 证: 所以为满足为特征值的一个特征向量,则任意乘以一个非零数k,则任然为 满足为特征值的一个特征向量 所以可以得出, 为特征值时,有无穷个特征向量与其对应,即, 并且,其中的任意两个相加,都为为特征值时的特征向量 5、若为的解,则可以称,为A特向值为0时的特征向量 即 如何求特征值 意味着有非零解 意味着的秩小于n,即不满秩,如果满秩的话,只有是零向量,才有解 不满秩的充要条件,有 向量的行列式为0,则该向量不满秩 最后,由这个方程,解出的值 如何求特征值对应的特征向量 将上述的值,分别代入原方程 可以分别求出其解 ,即为对应的特征向量 特征值和特征向量的一些性质 1、 A矩阵特征值的和,等于A矩阵,主对角线上元素的和,叫做矩阵A的迹 证明: 寻找的系数,则只能在当中进行组合选择 2、 A矩阵特征值的积,等于A的行列式 证明: 令,则等式左端为A的行列式,等式右端,则为A矩阵特征值的积 3、不同特征值的特征向量之间,一定线性无关 证明: 设是A的各不相同的特征向量 是与其对应的任一特征向量 使用数学归纳法 当n=1时,,它自个儿自然是线性无关 当n=s-1时,设线性无关 当n=s时,如果可以证得线性无关,则我们的假设成立 即证明时,只有当k1、k2、k3...ks为0时等式成立 我们将等式左乘矩阵A,因为k是数值可以移到左边去,然后根据的定义
然后我们将等式两边乘上,则可以得到 减去上面的等式
得 这里面已经被消掉了,只剩下 我们已经知道是线性无关的了 就意味着
... 因为是A的各不相同的特征向量,所以k1、k2...ks-1都为零 将k1到ks-1的值代回到 得到 所以ks也为零 我们就解出了这个等式下,k1、k2、k3...ks都为0,这意味着线性无关,所以由数学归纳法可以证明 不同特征值的特征向量之间,一定线性无关 4、A的k重特征值线性无关的特征向量最多有k个 如果为单特征值(就是没有一样的特征向量),那么特征向量就只有1个 5、A矩阵逆的特征值为,且特征向量为 证明: 这不就是定义么 6、A矩阵的伴随矩阵的特征值为,且特征向量为 证明:很简单, 7、kA(A为矩阵)的特征值为, 且特征向量为 证明:很简单 8、的特征值为,且特征向量为 证明:也很简单,跟上面差不多 不断的将A的次方脱下来,可以得到 9、若f(A)是A矩阵的一个多项式函数,那么f(A)的特征值为,且特征向量为 证明:还是依靠定义,其实就跟上述的8一样的操作 10、的特征值还是,但是它的特征向量跟没啥关系 证明:使用求特征值的公式 所以他们的解应该是完全一样的 11、的 特征值还是,特征向量为 证明: 即 |
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