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简单来说,矩阵是充满数字的表格。 A和B是两个典型的矩阵,A有2行2列,是2×2矩阵;B有2行3列,是2×3矩阵;A中的元素可用小写字母加行列下标表示,如a1,2 = 2, a2,2 = 4 矩阵加减法两个矩阵相加或相减,需要满足两个矩阵的列数和行数一致。 加法交换律:A + B = B + A 矩阵乘法两个矩阵A和B相乘,需要满足A的列数等于B的行数。
矩阵乘法很容易出错,尤其是两个高阶矩阵相乘时。 矩阵乘法不满足交换律,但仍然满足结合律和分配律: 单位矩阵 单位矩阵是一个n×n矩阵,从左到右的对角线上的元素是1,其余元素都为0。下面是三个单位矩阵: 如果A是n×n矩阵,I是单位矩阵,则AI= A, IA = A 单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数字1。 逆矩阵矩阵A的逆矩阵记作A-1, A A-1=A-1A= I,I是单位矩阵。
对高于2阶的矩阵求逆是一件很崩溃的事情,下面是一种求3阶矩阵的方法: 这种操作还是交给计算机去做吧,下面是在python中使用numpy计算逆矩阵的代码: 《线性代数笔记5——平面方程与矩阵》中也介绍了如何用消元法求逆矩阵。 奇异矩阵当一个矩阵没有逆矩阵的时候,称该矩阵为奇异矩阵。当且仅当一个矩阵的行列式为零时,该矩阵是奇异矩阵。 当ad-bc=0时|A|没有定义,A-1不存在,A是奇异矩阵。 如是奇异矩阵。 矩阵的转置简单地说,矩阵的转置就是行列互换,用AT表示A的转置矩阵。
转置运算公式: 对称矩阵 如果一个矩阵转置后等于原矩阵,那么这个矩阵称为对称矩阵。由定义可知,对称矩阵一定是方阵。对称矩阵很常见,实际上,一个矩阵转置和这个矩阵的乘积就是一个对称矩阵:
证明很简单:
两个对称矩阵相加,仍然得到对称矩阵:
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