走近神秘的矩阵之美

对矩阵的认识大致经历了三个阶段。首先，矩阵是一种新的数学符号或者代数工具，它有各种不知来由的定义和不知所谓的代数性质。在此阶段，矩阵就像一个黑匣子，抽象而晦涩。其次，矩阵是线性变换在给定坐标系下的代数表达，它可以表征自然界中的各种线性动作。在此阶段，矩阵就像一幅图景，具体而清晰。最后，矩阵具有深刻的物理内涵，各种不同的矩阵代数结构对应着自然界中各种不同的物理结构。在此阶段，矩阵就像一架通往终极真理的天梯，美妙而神秘。

矩阵之美. 基础篇

耿修瑞 著

北京：科学出版社, 2023.3

ISBN 978-7-03-074944-4

责任编辑: 胡庆家

本书从线性变换的角度，对矩阵中几个重要的概念进行新的诠释。

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第1 章首先旗帜鲜明地指出矩阵并非无源之水、无本之木，而是源于自然界中的线性变换，并且矩阵正是线性变换在给定基或坐标系下的代数表达。

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第2 章讲述了线性变换的矩阵表达与坐标系的关系，从而引出矩阵相似的概念；此外，选讲内容讲述了矩阵合同与度规的关联。

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第3 章从特征分析的角度给出了一个矩阵可能包含的线性变换类型，并给出了各种不同类型的数与自然界中基本线性动作的对应关系。

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第4 章利用矩阵对角化和若尔当标准形理论对自然界中线性变换的种类问题给出了明确的结论。

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第5 章从线性变换的连续性角度，对矩阵在实域内是否可以开任意次方以及如何计算矩阵的任意次方给出了严谨的阐述。

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第6 章指出行列式代表线性变换的整体缩放效果，并分别给出了行列式的代数解释和几何解释；此外，还阐述了行列式与叉积、楔形积、混合积等概念的关联。

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前面的章节讲述的均是单一矩阵的各种概念和性质，而多个满足一定条件的矩阵组合在一起不但可以描述一些特殊的几何结构，而且可能对应自然界中一些基本的物理结构。因此，在第7 章我们给出了矩阵李群的相关概念和意义。

8

鉴于李群的李代数为线性空间，且包含了李群的大部分信息，因此在第8 章我们给出了矩阵李代数的相关概念及含义。

水平方向扩大两倍、垂直方向缩小为原来的二分之一的挤压变换

绿色图形为原始图形，蓝色图形为变换后的图形

矩阵的特征值和特征向量的几何含义

矩阵的特征值为复数时，特征值及对应的特征向量必然以共轭的形式成对出现。此时对应的几何意义为旋转，旋转所在的平面为特征向量的实部和虚部张成的平面，旋转的角度则由特征值的辐角确定

矩阵的幂与对应的线性变换

本例中采用的矩阵对应旋转变换，其中绿色图形为原始图形，其他颜色的图形为在旋转矩阵的不同幂作用下变换之后的图形

楔形积的几何意义

将灰色平行四边形分别投影到 Oxy, Oyz, Oxz 三个平面，分别得到 Oxy 平面上的红色平行四边形，Oyz 平面上的绿色平行四边形，Oxz 平面上的黄色平行四边形，则这三个投影后的平行四边形的面积的平方和等于灰色平行四边形的面积的平方

三阶循环移位群 CS (3) 及其李代数

假定 P1 对应 CS (3) 的单位元，绿色曲线对应 CS (3)，P1 处与绿色曲线相切的蓝色直线为CS (3) 的李代数 cs (3)

本书从线性变换的角度对矩阵的诸多重要概念进行了新的梳理。本书适合高等学校理工科本科生、研究生、科研人员及对矩阵分析与计算感兴趣的读者参考使用。

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（本期编辑：王芳）