矩阵论期末考试（二）

1.齐次微分方程（x’(t)=A·x(t)）的解 记住： 满足x(0)=x0的特解为： x(t)=etAx0

2.非齐次微分方程（x’(t)=A·x(t)+b(t)）的解 满足x(0)=x0的特解为: ：x(t)=etA·[x0+ ∫ 0 t \int_{0}^{t} ∫0t​e-uAb(u)du]

例： 步骤： 1.微分方程的等式右边部分=A·(x1,x2,x3)，求出坐标矩阵A（a11 a21 … an1)T,（a12 a22 … an2)T…（a1n a2n … ann)T 2.求出矩阵A最小特征多项式m(λ)（即，使得（A-λ1E)m…(A-λnE)s=0阵） 3.f(λ)=m(λ)·g(λ)+r(λ)=eλt(通解)，而 r(λ) = a+bλ+cλ2+…+gλn-1,根据最小多项式m(λ)的次数和=确定r(λ)的项数（比如m(λ）=（λ-1)(λ-2)中 m(λ）的次数和为2，因此对应的r(λ)为两项，也就是 r(λ)=a+bλ ）,求出f(λ1)…f(λn)（如果解出来的特征值为重根，则求出f(λ)和f’(λ)），并使用待定系数法解出r(λ)的系数 a,b,…,g 4.求出f(A)=eAt 5.求出特解

1.证明T是线性变换，只需要证明:∀a，b∈子空间V1，∀l1,l2∈R，有T(l1a+l2b) = l1(Ta)+l2(Tb)

2.证明T是正交变换，只需要证明：∀a∈欧氏空间V，(Ta,Ta)=(a,a) 3.证明T是对称变换，只需要证明：∀x,y∈欧氏空间V，(Tx,y)=(x,Ty)

3.和下面这个例子类似的证明： 其中题目已知条件：T1T2=T2T1 要证明：R(T2)是T1的不变子空间，即证明：∀x∈R(T2)，有T1x∈R(T2)

要证明：N(T2)是T1的不变子空间，即证明：∀x∈N(T2)，有T1(x)=0∈N(T2) 4.关于谱半径的证明 (1)证明：∀An*n，有谱半径ρ(A)0，∃范数||·||M，使得||A||M