幂法与反幂法求特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量

若非零向量x满足

那么

被称为A的特征值，x称为A的特征向量。

一个矩阵的特征值与特征向量不是唯一的。根据定义转化

解这个方程，我们可以求出特征值，然后求出特征向量。

关于特征值与特征向量，其他up已经做出了具体的诠释，包括意义，推荐观看

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幂法求特征向量

A是一个n阶方阵，求他的特征向量，幂法：他的特征值与特征向量可以通过矩阵A不断乘以一个初始向量（不是零向量）得到。接下来是证明

来看一下百度百科：

我们来分析一下幂法究竟是怎么求出特征值与特征向量的。

我们大致浏览一下，可以发现他是通过构造一个递归序列

选取

然后将x0用含A特征向量的基底表示。

下一步可能会看的有些迷糊，

但是这里是A^k的特征值和特征向量？是否能直接带入？

这是可以的，很容易证明：

我们继续来看

后面的一串变成了一个极小量，是因为r1是最大的特征值，所以由它作为分母的分数小于1，这个分数极大次幂是一个极小项。

我们添加一步，将xk替换成A^k*x0

这样我们可以直观的看到：矩阵A 的特征向量V1可以通过矩阵A不断乘以一个初始向量x0（不是零向量）得到。主特征向量V1与A^k*V0就相差了一个倍数。（a1r1^k）

幂法求特征值

幂法求特征值我直接放吴老师书上的过程了

注意上图的初始向量是用v0表示的，特征值是用

表示的。两式相除消去特征值的k次幂得到了最大（主）特征值。

计算方法

这是百度百科的算法，它进行了归一化处理。和吴老师的方法是一致的，同样选取了最大分量。

（吴老师的算法）

当然，up主没有那么勤劳会自己写代码，而且这篇文章也是各种截图，我只是将模糊的地方说明了一下，也理了一下幂法思路。下面是中国科学技术大学数学科学学院张瑞老师的算法：

这一个分量是任取的。

反幂法

反幂法就是一个取倒数的思路，与幂法一致。这里不做详细介绍。

微信公众号：拉格朗日数乘