两个向量的叉乘为什么是面积？

二维叉积一图搞定即可

对于三维叉积，考虑其定义 \begin{bmatrix}u_1\\u_2 \\ u_3\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}v_1\\v_2 \\ v_3\end{bmatrix}=\det(\begin{bmatrix} \hat{i} & u_1 & v_1 \\\hat{j} & u_2 & v_2\\\hat{k} & u_3 & v_3 \end{bmatrix})\\ 不难发现对于未知向量 \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} ， f(\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix})=\det(\begin{bmatrix} x & u_1 & v_1 \\y & u_2 & v_2\\z & u_3 & v_3 \end{bmatrix}) 在 \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} 为自变量时是线性的，于是我们也就可以将