期望、方差、协方差及相关系数的基本运算

2024-03-19 04:07| 来源: 网络整理| 查看: 265

设P(x)是一个连续概率分布函数，那么他的期望是：

性质：

1.线性运算：

期望服从先行性质，因此线性运算的期望等于期望的线性运算： $E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c$ 我们可以把它推广到任意一般情况： $E\left ( \sum_{k=1}^{n}a_{i}+c\right )=\sum_{k=1}^{n}a_{i}E(x_{i})+c$

2.函数的期望：

设f(x)是x的函数，则f(x)的期望为：

离散：

$E(f(x))=\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})P(x_{k})$

连续：

$E(f(x))=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)P(x)dx$

3.乘积的期望:

一般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除非变量相互独立。因此，如果x和y相互独立,则

$E(xy)=E(x)E(y)$

期望的运算构成了统计量的运算基础，因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质： 1.E（C）=C 2.E（CX）=CE（X） 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4.当X和Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y) 性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。例子：某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。求一个家庭平均小孩的数目: 思路：则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量。它可取值0，1，2，3。其中取0的概率为0.01(1000/10万)，取1的概率0.9(9000/10万)，取2的概率为0.06(6000/10万)，取3的概率为0.03(3000/10万)。它的数学期望0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。用数学式子表示为E(X)=1.11。 $E(x)=\sum_{i=0}^{1000}x_{i}f(x_{i})+\sum_{i=0}^{9000}y_{i}f(k_{i})+\sum_{i=0}^{6000}k_{i}f(k_{i})+\sum_{z=0}^{3000}z_{i}f(z_{i})$ $=0�0.01+1�0.9+2�0.06+3�0.03=1.11$

二、方差

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