肯德尔（Kendall）相关系数概述及Python计算例

目录

1. 何谓相关（correlation）?

2. 肯德尔相关 

3. 肯德尔相关的假设

4. 计算公式及代码示例

4.1 Tau-a

4.2  Tau-b       

        相关是指一种双变量分析（bi-variate analysis）技术，用于分析两个（随机）变量之间相互关联的强度和方向。相关系数的值域范围为[-1,1]，其中绝对值表示相关强度，正负号则表示相关的方向。相关系数为+/-1表示完全的关联。相关系数为0则表示两者完全没有任何关系。

        例1。一般来说，一个人受教育水平越高他的收入就会更高一些（当然这是从统计平均的意义上来说），因此我们可以说收入水平与受教育水平是正相关的。

        例2。一个联赛中各支球队的球员总身价越高，通常球队在联赛中的成绩（排名）就会越靠前，因此我们可以说球员总身价与联赛成绩是正相关的。

        统计学上常用的相关分析有以下几种:

        本文讨论肯德尔相关（系数）。 

        也称肯德尔秩相关（Kendall Rank Correlation），肯德尔相关系数通常也称为“Kendall’s tau coefficient”，顾名思义，肯德尔相关系数通常用希腊字母来表示（斯皮尔曼相关系数则用来表示，在scipy.stats中两个相关系数计算的函数名kendalltau()和spearmanr()非常清楚地）。 

        与斯皮尔曼秩相关相似的是，肯德尔相关也是一种秩相关系数，是基于数据对象的秩（rank）来进行两个（随机变量）之间的相关关系（强弱和方向）的评估。所分析的目标对象应该是一种有序的类别变量，比如名次、年龄段、肥胖等级(重度肥胖，中度肥胖、轻度肥胖、不肥胖)等。

        不同的是，斯皮尔曼相关是基于秩差（比如说，小明在班级中的历史成绩排名为10，英语成绩排名为4，那么在这个班级的学生的历史成绩和英语成绩的斯皮尔曼相关分析中，小明的成绩的贡献就是(10-4=6) ）来进行相关关系的评估；而肯德尔相关则是基于样本数据对之间的关系来进行相关系数的强弱的分析，数据对可以分为一致对(Concordant)和分歧对(Discordant)。

        比如说变量X的两个样本值记为，与之相对应的变量Y的两个样本值分别记为。

        一致对(Concordant)是指两个变量的这一对样本值取值的相对关系一致，可以理解为与有相同的符号，即；

        分歧对是指这一对样本值取值的相对关系不一致，即。

        当数据样本比较小，而且存在并列排位（tied ranks，比如说小明的历史成绩和英语成绩排名都是第8名）时，肯德尔相关系数是比斯皮尔曼相关系数更合适的一个相关性衡量指标。

        适合于采用肯德尔相关系数分析的一些问题例如下所示：

         运行以上代码同样可以得到0.3888...的结果，只不过没有给出p-value分析结果（这个稍微麻烦一些，此处暂且略过）。

        在以上Tau-a的计算中假定原始数据中不存在并列排位。当原始数据中存在并列排位时，则用以下公式能够给出更准确的分析结果。

        其中c和d则分别代表一致对和分歧对的个数，和则分别表示数据X中的并列排位个数，和数据Y中的并列排位个数。注意，如果是同时发生在X和Y中并列排位，则既不计入，也不计入。