线性代数学习笔记9

之前指出，矩阵的特征值和特征向量蕴含在相似对角化 A = S − 1 Λ S \boldsymbol{A}=\boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{S} A=S−1ΛS中

下面将看到，“相似对角化”是相似矩阵 A ∼ B \mathbf A \sim \mathbf B A∼B的特例，且一系列相似矩阵都具有相同特征值

之前说过， A \mathbf A A与 B \mathbf B B互为相似矩阵，即 A ∼ B \mathbf A \sim \mathbf B A∼B，则它们满足关系 B = M − 1 A M \mathbf B=\mathbf {M^{-1}AM} B=M−1AM 其中， M \mathbf M M称为过渡矩阵，它表现了基与基之间的一个可逆线性变换

其几何意义是，相似矩阵 A \mathbf A A与 B \mathbf B B是同一个线性变换，只不过它们作用于从不同的坐标系（依赖于不同的基向量）

相似矩阵的特点是：

证明：相似矩阵具有相同的特征值，且特征向量之间也有一定联系 A \mathbf A A与 B \mathbf B B互为相似矩阵，则 B = M − 1 A M \mathbf B=\mathbf {M^{-1}AM} B=M−1AM A \mathbf A A的特征值： A x = λ x \mathbf A\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x Ax=λx 稍作变形，得到 A x = A M M − 1 x = λ x \mathbf A\boldsymbol x=\mathbf A\mathbf M\mathbf M^{-1}\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x Ax=AMM−1x=λx； 左乘 M − 1 \mathbf M^{-1} M−1得到 ( M − 1 A M ) M − 1 x = λ M − 1 x (\mathbf M^{-1}\mathbf A\mathbf M)\mathbf M^{-1}\boldsymbol x=\lambda\mathbf M^{-1}\boldsymbol x (M−1AM)M−1x=λM−1x B \mathbf B B的特征值： B ( M − 1 x ) = λ ( M − 1 x ) \mathbf B(\mathbf M^{-1}\boldsymbol x)=\lambda(\mathbf M^{-1}\boldsymbol x) B(M−1x)=λ(M−1x)

证明：由于 B = M − 1 A M \mathbf B=\mathbf {M^{-1}AM} B=M−1AM，则 B k = ( M − 1 A M ) K = M − 1 A K M \mathbf B^k=(\mathbf {M^{-1}AM})^K=\mathbf {M^{-1}A^KM} Bk=(M−1AM)K=M−1AKM 这就是说 A k ∼ B k \mathbf A^k \sim \mathbf B^k Ak∼Bk

矩阵的特征值情况不同，其具有的相似矩阵不同，下面分情况讨论

一般而言，矩阵 A \mathbf A A具有一系列（大量）相似矩阵：任意用一个可逆矩阵 M \mathbf M M就能得到一个相似矩阵 M − 1 A M = B \mathbf {M^{-1}AM}=\mathbf B M−1AM=B

特征值互不相同时， A \mathbf A A必然具有n个线性无关的特征向量（从而保证下方的特征向量矩阵 S \mathbf S S可逆），则此时可以对角化 A = S − 1 Λ S \mathbf A=\mathbf S^{-1}\mathbf \Lambda\mathbf S A=S−1ΛS其中 Λ \mathbf \Lambda Λ为 A \mathbf A A的特征值、 S \mathbf S S为特征向量矩阵

可见：

例如，对于 A = [ 2 1 1 2 ] \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\1 & 2\end{array}\right] A=[21​12​] 取 M = [ − 2 2 2 2 2 2 2 2 ] \mathbf M=\left[\begin{array}{ll}-\frac{\sqrt 2}{2} & \frac{\sqrt 2}{2} \\\frac{\sqrt 2}{2} & \frac{\sqrt 2}{2}\end{array}\right] M=[−22 ​​22 ​​​22 ​​22 ​​​]，可得 M − 1 A M = Λ = [ 3 0 0 1 ] \mathbf {M^{-1}AM}=\boldsymbol{\Lambda}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\0 & 1\end{array}\right] M−1AM=Λ=[30​01​] 取 M = [ 1 4 0 1 ] \mathbf M=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\0 & 1\end{array}\right] M=[10​41​]，可得 M − 1 A M = B = [ − 2 − 15 1 6 ] \mathbf {M^{-1}AM}=\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}-2 & -15 \\1 & 6\end{array}\right] M−1AM=B=[−21​−156​]

A \mathbf A A具有重复的特征值时，则可能无法对角化（关键在于是否有n个线性无关的特征向量） 此时，又要分为两种情况讨论：

例如 A = [ 4 0 0 4 ] \mathbf A={\left[\begin{array}{ll}4 & 0 \\0 & 4\end{array}\right]} A=[40​04​]，有两个线性无关特征向量

例如 A = [ 4 1 0 4 ] \mathbf A={\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\0 & 4\end{array}\right]} A=[40​14​]，只有一个线性无关的特征向量

另一理解：假设可以对角化，那么其相似矩阵为特征值矩阵，即上面1中的矩阵 4 I 4\mathbf I 4I，而上面说过 4 I 4\mathbf I 4I只与自己相似

注意，对于这种不能实现对角化的情况，我们在一系列相似矩阵中，挑选出最简洁、最接近对角矩阵的那一个，称为若尔当标准型Jordan form；

例如，这里有一系列相似矩阵 [ 4 10 0 4 ] {\left[\begin{array}{ll}4 & 10 \\0 & 4\end{array}\right]} [40​104​]、 [ 4 1 0 6 0 4 ] {\left[\begin{array}{ll}4 & 10^6 \\0 & 4\end{array}\right]} [40​1064​]等，其中的 [ 4 1 0 4 ] {\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\0 & 4\end{array}\right]} [40​14​]若尔当标准型 另外，还可以列举