浅谈矩阵的相似对角化（一）

通过前面的讨论，我们引出了线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，知道了线性变换在不同基下的矩阵是相似的，进而我们可以通过选取不同的基，使得线性变换在这组基下的矩阵的形式最简单，由于对角矩阵具有良好的性质，因此我们希望通过选取合适的基，使得线性变换在这组基下的矩阵是对角矩阵，这个问题等价于寻找一个可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=\Lambda ,在讨论这个问题之前我们需要先研究这样一个问题：

设 V 是数域 P 上的一个n维线性空间， \varphi 是线性空间 V 上的一个线性变换， 若\varphi(\alpha)=\lambda\alpha ( \alpha\in V,且\alpha\ne0,\lambda\in P )，则称 \alpha 是线性变换 \varphi 的特征向量, \lambda 是特征向量 \alpha 对应的特征值，取线性空间 V 的一组基 \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n} 则 \alpha=a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+...+a_{n}\varepsilon_{n}=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})X ,

其中 X=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^{T}

于是 \varphi(\alpha)=\varphi(a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+...+a_{n}\varepsilon_{n})=\varphi[(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})X]=\varphi(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})\cdot X

设线性变换 \varphi 在基 \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n} 下的矩阵为 A ,

则 \varphi(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})A

故 \varphi(\alpha)=(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})AX

即 (\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})AX=\lambda(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n})X

因为 (\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}) 可逆，于是得 AX=\lambda X

对上式移项并提公因式得 (A-\lambda E)X=0 ,由于 \alpha\ne0 ，所以 X\ne0 ，故齐次线性方程组 (A-\lambda E)X=0 有非零解，即 \left| A-\lambda E \right|=0 ，由于行列式 \left| A-\lambda E \right| 是n阶的，所以 \left| A-\lambda E \right|=0 是关于 \lambda 的n次方程，根据代数基本定理， \left| A-\lambda E \right|=0 在复数域内必有n个根。故对于任意一个n阶矩阵，在复数域内必有n个特征值（重根算上重数），将这n个特征值再带回到 AX=\lambda_{i}X(i=1,2,...,n) 解出 \lambda_{i} 对应的特征向量，由于齐次线性方程 (A-\lambda E)X=0 有非零解，故该齐次线性方程组有无穷多个解，即每个特征值对应的特征向量有无穷多个，但同一个特征值对应的特征向量中线性无关的特征向量的最多为 n-r(A-\lambda_{i}E) 个。

下面要证明不同特征值对应的特征向量是线性无关的：

设 \lambda_{1},\lambda_{2} 是矩阵 A 的两个不同的特征值，即 AX=\lambda_{1}X，AX=\lambda_{2}X(\lambda_{1}\ne \lambda_{2})

由 AX=\lambda_{1}X 解得 \lambda_{1} 对应的线性无关的特征向量为 \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}

由 AX=\lambda_{2}X 解得 \lambda_{2} 对应的线性无关的特征向量为 \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}

令 k_{1}\alpha_{1}+...+k_{s}\alpha_{s}+l_{1}\beta_{1}+...+l_{t}\beta_{t}=0 (*)

(*) 左乘 A 得

\lambda_{1}(k_{1}\alpha_{1}+...+k_{s}\alpha_{s})+\lambda_{2}(l_{1}\beta_{1}+...+l_{t}\beta_{t})=0 (**)

(*)\times \lambda_{2}-(**) 得

(\lambda_{2}-\lambda_{1})(k_{1}\alpha_{1}+...+k_{s}\alpha_{s})=0

因为 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} ,所以 k_{1}\alpha_{1}+...+k_{s}\alpha_{s}=0 ,带入 (*) 得

l_{1}\beta_{1}+...+l_{t}\beta_{t}=0

由于 \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} 线性无关，所以 k_{1}=...=k_{s}=0

同理， l_{1}=...=l_{t}=0

综上 k_{1}=...=k_{s}=l_{1}=...=l_{t}=0

故 \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s},\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t} 线性无关。

现在我们讨论怎样寻找可逆矩阵 P ,使得 P^{-1}AP=\Lambda （其中 \Lambda 为对角矩阵）

即 \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}

假设我们已经找到可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=\Lambda ，即 AP=P\Lambda

将矩阵 P 按列分块，则 P=(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})

则有 A(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})=(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}

即 A\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_{i}(i=1,2,...,n) ,所以 \alpha_{i} 是 A 的特征向量，

若 \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n} 线性无关，即 A 有n个线性无关的特征向量，

则有 A=(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n})^{-1}

即当n阶矩阵 A 有n个线性无关的特征向量时， A 可相似对角化。

反过来，若 A 可相似对角化，那么 A 是否有n个线性无关的特征向量呢？

假设 A 可相似对角化，由于 A 是线性变换 \varphi 在基 \varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n} 下的矩阵，

则线性变换 \varphi 可找到一组适当的基，使得 \varphi 在这组基下的矩阵为对角矩阵，不妨设这组基为 \eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n} ,则有 \varphi(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})=(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})\Lambda （其中 \Lambda 为对角矩阵）

即 \Lambda=\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}

则有 \varphi(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})=(\eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n})\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}

故 \varphi(\eta_{i})=\lambda_{i}\eta_{i}(i=1,2,...,n) ，故 \eta_{i}(i=1,2,...,n) 是线性变换 \varphi 的n个特征向量，由于 \eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n} 是线性空间 V 的一组基，故 \eta_{1},\eta_{2},...,\eta_{n} 线性无关，即线性变换 \varphi 有n个线性无关的特征向量。

综上，矩阵 A 可相似对角化的充分必要条件是矩阵 A 有n个线性无关的特征向量

由于我们之前证明了不同特征值对应的特征向量是线性无关的，因此若矩阵 A 的特征方程 \left| A-\lambda E \right|=0 有n个不同的根，那么矩阵 A 一定可以相似对角化，若矩阵 A 有重根 \lambda_{i} ，则要求该重根的重数 s 必须等于该重根对应的线性无关的特征向量的个数，即有 s=n-r(A-\lambda_{i}E)

在下一篇文章里面我们将讨论实对称矩阵的相似对角化问题以及二次型的标准化问题。

未完待续...