求若当标准型的变换矩阵

已知 A = [ 2 0 0 1 4 0 1 0 2 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} A=⎣⎡​211​040​002​⎦⎤​ 特征多项式为： ∣ λ I − A ∣ = ∣ λ − 2 0 0 − 1 λ − 4 0 − 1 0 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) 2 ( λ − 4 ) = 0 |\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda -2 & 0 &0 \\ -1 & \lambda -4 & 0\\ -1 & 0 & \lambda -2 \end{vmatrix} = (\lambda - 2)^2(\lambda -4)=0 ∣λI−A∣=∣∣∣∣∣∣​λ−2−1−1​0λ−40​00λ−2​∣∣∣∣∣∣​=(λ−2)2(λ−4)=0 求出特征值： λ = 2 (二重) , 4 \lambda = 2\text{(二重)}, 4 λ=2(二重),4.

但是显然 A A A 不会相似于对角矩阵: [ 2 0 0 0 4 0 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} ⎣⎡​200​040​002​⎦⎤​ 因而只能是相似于若当标准型： J = [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] J = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} J=⎣⎡​210​020​004​⎦⎤​ 注意：若当标准型的标准求法需要用到 λ \lambda λ-多项式(或 λ \lambda λ-矩阵)，参见高等代数教材。但在这里掐指一算就知道了，因为只有 2 是二重根

下面要求变换矩阵 P P P 使得： A = P J P − 1 ⇔ A P = P J ⇔ A [ p 1 p 2 p 3 ] = [ p 1 p 2 p 3 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] ⇔ { A p 1 = 2 p 1 + p 2 A p 2 = 2 p 2 A p 3 = 4 p 3 ⇔ { ( A − 2 I ) p 1 = p 2 ⇒ ( A − 2 I ) 2 p 1 = 0 ( A − 2 I ) p 2 = 0 ( A − 4 I ) p 3 = 0 \begin{aligned} &A = PJP^{-1} \\ \Leftrightarrow& AP = PJ \\ \Leftrightarrow& A \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}p_1 & p_2 & p_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} A p_1 = 2p_1 + p_2 \\ A p_2 = 2p_2 \\ A p_3 = 4p_3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow& \begin{cases} (A - 2I) p_1 = p_2 \Rightarrow (A - 2I)^2 p_1 = 0\\ (A-2I) p_2 = 0 \\ (A-4I) p_3 = 0 \end{cases} \end{aligned} ⇔⇔⇔⇔​A=PJP−1AP=PJA[p1​​p2​​p3​​]=[p1​​p2​​p3​​]⎣⎡​210​020​004​⎦⎤​⎩⎪⎨⎪⎧​Ap1​=2p1​+p2​Ap2​=2p2​Ap3​=4p3​​⎩⎪⎨⎪⎧​(A−2I)p1​=p2​⇒(A−2I)2p1​=0(A−2I)p2​=0(A−4I)p3​=0​​ p 3 p_3 p3​ 在 A − 4 I A-4I A−4I 的核空间，很好求: ( A − 4 I ) p 3 = [ − 2 0 0 1 0 0 1 0 − 2 ] p 3 = 0 ⇒ p 3 = [ 0 1 0 ] (A-4I)p_3 = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} p_3 = 0 \Rightarrow p_3= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} (A−4I)p3​=⎣⎡​−211​000​00−2​⎦⎤​p3​=0⇒p3​=⎣⎡​010​⎦⎤​ p 2 p_2 p2​ 在 A − 2 I A-2I A−2I 的核空间； p 1 p_1 p1​ 在 ( A − 2 I ) 2 (A-2I)^2 (A−2I)2 的核空间，但是不在 A − 2 I A-2I A−2I 的核空间

这该怎么求呢？

先求 p 1 p_1 p1​: ( A − 2 I ) 2 p 1 = [ 0 0 0 1 2 0 1 0 0 ] 2 p 1 = [ 0 0 0 2 4 0 0 0 0 ] p 1 = 0 (A-2I)^2p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix}^2 p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 2 &4 & 0\\ 0 & 0 &0 \end{bmatrix} p_1 =0 (A−2I)2p1​=⎣⎡​011​020​000​⎦⎤​2p1​=⎣⎡​020​040​000​⎦⎤​p1​=0 ⇒ p 1 = [ 0 0 1 ] 或者 [ − 2 1 0 ] \Rightarrow p_1= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text{或者} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} ⇒p1​=⎣⎡​001​⎦⎤​或者⎣⎡​−210​⎦⎤​ 由于前者 [ 0 0 1 ] \displaystyle \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \end{bmatrix} ⎣⎡​001​⎦⎤​ 在 A − 2 I A-2I A−2I 的核空间，故舍弃，所以 p 1 = [ − 2 1 0 ] \displaystyle p_1 = \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} p1​=⎣⎡​−210​⎦⎤​ 所以 p 2 = ( A − 2 I ) p 1 = [ 0 0 0 1 2 0 1 0 0 ] [ − 2 1 0 ] = [ 0 0 − 2 ] p_2 = (A-2I)p_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 1 &2 & 0 \\ 1 & 0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 \\1 \\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\-2 \end{bmatrix} p2​=(A−2I)p1​=⎣⎡​011​020​000​⎦⎤​⎣⎡​−210​⎦⎤​=⎣⎡​00−2​⎦⎤​ 至此， P P P 矩阵求出

可以验证： A P = [ 2 0 0 1 4 0 1 0 2 ] [ − 2 0 0 1 0 1 0 − 2 0 ] = [ − 4 0 0 2 0 4 − 2 − 4 0 ] AP = \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 4 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} AP=⎣⎡​211​040​002​⎦⎤​⎣⎡​−210​00−2​010​⎦⎤​=⎣⎡​−42−2​00−4​040​⎦⎤​ P J = [ − 2 0 0 1 0 1 0 − 2 0 ] [ 2 0 0 1 2 0 0 0 4 ] = [ − 4 0 0 2 0 4 − 2 − 4 0 ] = A P PJ = \begin{bmatrix} -2 & 0 &0 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 &0 \\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0& 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 0 &0 \\ 2 & 0 & 4\\ -2 & -4 & 0 \end{bmatrix} = AP PJ=⎣⎡​−210​00−2​010​⎦⎤​⎣⎡​210​020​004​⎦⎤​=⎣⎡​−42−2​00−4​040​⎦⎤​=AP 故 A = P J P − 1 A = PJP^{-1} A=PJP−1