[题目]如图.在三棱台ABC﹣DEF中.平面BCFE⊥平面ABC.∠ACB=90°.BE=EF=FC=1.BC=2.AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD,(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值. 题目和参考答案 | 您所在的位置:网站首页 › 直线与平面所成角余弦值公式 › [题目]如图.在三棱台ABC﹣DEF中.平面BCFE⊥平面ABC.∠ACB=90°.BE=EF=FC=1.BC=2.AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD,(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值. 题目和参考答案 |
【答案】(1) 证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示: ∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC; ∴AC⊥平面BCK,BF平面BCK; ∴BF⊥AC; 又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2; ∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点; ∴BF⊥CK,且AC∩CK=C; ∴BF⊥平面ACFD (2) ∵BF⊥平面ACFD; ∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角; ∵F为CK中点,且DF∥AC; ∴DF为△ACK的中位线,且AC=3; ∴ 又 ∴在Rt△BFD中, 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 【解析】(1)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(2)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF= |
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