9.2.2总体百分位数的估计

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一般地，一组数据的第\(p\)百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有\(p\%\)的数据小于或等于这个值，且至少有\((100-p)\%\)的数据大于或等于这个值. 第\(p\)百分位数也称\(p\%\)分位数.  

第一步：按从小到大排列原始数据； 第二步：计算\(i=n×p\%\); 第三步：若\(i\)不是整数，而大于\(i\)的比邻整数为\(j\)，则第\(p\)百分位数为第\(j\)项数据；若\(i\)是整数，则第\(p\)百分位数为第\(i\)项与第\((i+1)\)项数据的平均数. 【例】 求数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的第\(50\)百分位数、第\(60\)百分位数. 解 \(5×50\%=2.5\)不是整数，所以第\(50\)百分位数是\(3\)； \(5×60\%=3\)是整数，所以第\(60\)百分位数是\(\dfrac{3+4}{2}=3.5\).  

（1）第\(0\)百分位数为数据组中的最小数，第\(100\)百分位数为数据组中的最大数； （2）一组数据的百分位数即可能是这组数据中的数，也可能不是； （3）一组数据的某些百分位数可能是同一个数. 【例】 求数据\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的第\(0\)百分位数、第\(100\)百分位数、第\(30\)百分位数、第\(40\)百分位数、第\(50\)百分位数. 解 第\(0\)百分位数是\(1\)，第\(100\)百分位数是\(5\)、第\(30\)百分位数是\(2\)、第\(40\)百分位数是\(2\)、第\(50\)百分位数是\(\dfrac{2+3}{2}=2.5\).  

四分位数：包含第\(25\)百分位数，第\(50\)百分位数，第\(75\)百分位数. 中位数相当于第\(50\)百分位数，第\(25\)百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第\(75\)百分位数也称为第三四分位数或上四分位数. 在假设检验中，常用\(1\%\)，\(5\%\)，\(10\%\)，\(90\%\)，\(95\%\)和\(99\%\)的分位数.  

抽样方法和样本的随机性都可能导致样本百分位数估计总体百分位数的误差.  

【典题1】 某地一年之内\(12\)个月的月降水量从小到大分别为：\(46\)，\(51\)，\(48\)，\(53\)，\(56\)，\(53\)，\(56\)，\(64\)，\(58\)，\(56\)，\(66\)，\(71\)，则该地区的月降水量\(20\%\)分位数和\(75\%\)分位数为(　　)  A．\(51\)，\(58\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(51\)，\(61\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(52\)，\(58\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(52\)，\(61\) 解析 该组数据从小到大排列为：\(46\)，\(48\)，\(51\)，\(53\)，\(53\)，\(56\)，\(56\)，\(56\)，\(58\)，\(64\)，\(66\)，\(71\)，因为\(20\%×12=2.4\)，计算结果不是整数， 所以\(20\%\)分位数为第\(3\)项数据，即\(51\)； 因为\(75\%×12=9\)，计算结果是整数， 所以\(75\%\)分位数为第\(9\)项和第\(10\)项数据的平均数，即 \(\dfrac{58+64}{2}=61\)． 故选：\(B\)． 点拨 计算一组\(n\)个数据的第\(p\)百分位数 第一步：按从小到大排列原始数据； 第二步：计算\(i=n×p\%\); 第三步：若\(i\)不是整数，而大于\(i\)的比邻整数为\(j\)，则第\(p\)百分位数为第\(j\)项数据；若\(i\)是整数，则第\(p\)百分位数为第\(i\)项与第\((i+1)\)项数据的平均数.  

1.一组数据\(12\)，\(34\)，\(15\)，\(24\)，\(39\)，\(25\)，\(31\)，\(48\)，\(32\)，\(36\)，\(36\)，\(37\)，\(42\)，\(50\)的第\(25\)，\(75\)百分位数分别是\(\underline{\quad \quad}\)．  

2.数据\(3.2\)，\(3.4\)，\(3.8\)，\(4.2\)，\(4.3\)，\(4.5\)，\(x\)，\(6.6\)的第\(65\)百分位数是\(4.5\)，则实数\(x\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．  

3.已知按从小到大顺序排列的两组数据: 甲组:\(27\)，\(30\)，\(37\)，\(m\)，\(40\)，\(50\)； 乙组:\(24\)，\(n\)，\(33\)，\(44\)，\(48\)，\(52\)． 若这两组数据的第\(30\)百分位数、第\(50\)百分位数都分别对应相等，则 \(\dfrac{m}{n}\)等于(　　)  A．\(\dfrac{4}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac{10}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(\dfrac{12}{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{7}{4}\)  

4.如图为\(30\)位学生参加语文竞赛的成绩，并由小到大排列．   (1)求第一、二四分位数；\(\qquad \qquad\) (2)求第\(95\)百分位数．    

参考答案

答案 \(25\)，\(39\) 解析 一组数据\(12\)，\(34\)，\(15\)，\(24\)，\(39\)，\(25\)，\(31\)，\(48\)，\(32\)，\(36\)，\(36\)，\(37\)，\(42\)，\(50\)从小到大为:\(12\)，\(15\)，\(24\)，\(25\)，\(31\)，\(32\)，\(34\)，\(36\)，\(36\)，\(37\)，\(39\)，\(42\)，\(48\)，\(50\)， \(\because 14×25\%=3.5\)， \(\therefore\)该组数据的第\(25\)百分位数是\(25\)， \(\because 14×75\%=10.5\)， 第\(75\)百分位数是\(39\)． 故答案为:\(25\)，\(39\)．

答案 \([4.5，+\infty)\) 解析 \(\because 8×65\%=5.2\)， \(\therefore\)第\(65\)百分位数是第\(6\)个数据为\(4.5\)， \(\therefore x≥4.5\)， \(\therefore\)实数\(x\)的取值范围为\([4.5，+\infty)\)．

答案 \(A\) 解析 因为甲乙两组都有\(6\)个数据，\(30\%×6=1.8\)，\(50\%×6=3\)， 所以第\(30\)百分位数为\(n=30\)， 第\(50\)百分位数为\(\dfrac{37+m}{2}=\dfrac{33+44}{2}\)，所以\(m=40\)， 所以 \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{40}{30}=\dfrac{4}{3}\)． 故选:\(A\)．

答案 (1) \(65\)，\(75.5\) (2) \(\dfrac{57}{2}\) 解析 (1) \(\because 30 \times 25 \%=\dfrac{15}{2}\)， \(\therefore 30\)位学生参加语文竞赛的成绩的第一四分位数是从小到大排序后的第\(8\)个数，是\(65\)． \(30×50\%=15\)， \(\therefore 30\)位学生参加语文竞赛的成绩的第二四分位数是从小到大排序后的第\(15\)与\(16\)两个数的平均数:\(75.5\)， (2) \(30 \times 95 \%=\dfrac{57}{2}\)， \(\therefore 30\)位学生参加语文竞赛的成绩的第一四分位数是从小到大排序后的第\(29\)个数，是\(99\)．  

【典题1】 某校研究性学习课题小组为了了解某市工薪阶层的工资水平，从该市工薪阶层中随机调查了\(50\)位市民，调查结果如表．

  (1)完成如图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标)；   (2)估计该市工薪阶层月收入的第\(25\)百分位数； 解析 (1)各组的频率分别是\(0.1\)，\(0.2\)，\(0.3\)，\(0.2\)，\(0.1\)，\(0.1\)， 所以频率分布直方图中各组的纵坐标分别是\(0.01\)，\(0.02\)，\(0.03\)，\(0.02\)，\(0.01\)，\(0.01\)， 故月收入频率分布直方图如图所示: (2)由(1)可知，月收入在\(25\)百元以下所占比例为\(10\%\)， 月收入在\(35\)百元以下所占的比例为\(30\%\)， 因此\(25\%\)分位数一定在\([25，35)\)内， 方法1 设\(25\%\)分位数为\(x( 25