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白噪声和高斯白噪声
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1.白噪声
什么是白噪声 对于时间序列{wt} 若满足下面三个条件，该序列为一个离散的白噪声（white noise）： 每个时间点均值为0：E(wt)=0每个时间点方差为σ2：Var(wt)=σ2对于任意k≥1，自相关系ρk=0：Cov(wt,wt+1)=0使用matlab产生白噪声 fs=10000; %采样频率 Ns=10000; %采样点数 t=0:1/fs:Ns/fs; s3=rand(1, Ns+1);%生成一个白噪声数组
图 1‑1白噪声信号 nfft=length(s3); cxn=xcorr(s3,'unbiased'); % 计算序列的自相关函数 CXk=fft(cxn,nfft); Pxx=abs(CXk); index=0:round(nfft/2-1); k=index*fs/nfft; %plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1)); plot_Pxx=(Pxx(index+1)); 先进行自相关求解，然后进行fft，就能得到功率谱。 图 1‑2白噪声信号功率谱 histogram(s3,25) %直方图
图 1‑3白噪声信号直方图 2.高斯白噪声什么是高斯噪声 高斯白噪声（white Gaussian noise; WGN）：均匀分布于给定频带上的高斯噪声 如果一个噪声，它的幅度服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。高斯白噪声中的高斯是指：概率分布是正态函数，而白噪声是指：它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。这是考察一个信号的两个不同方面的问题。热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。使用matlab产生白噪声 s3=randn(1, Ns+1);%生成一个高斯白噪声数组方法与白噪声同理，产生高斯白噪声使用randn函数。
图 2‑1高斯白噪声信号
图 2‑2高斯白噪声信号功率谱 高斯白噪声直方图 图 2‑3高斯白噪声信号直方图 matlab滤波器使用 图 3‑1正弦信号和噪声信号 图 1‑4 红色信号为频率为5Hz的正弦波信号幅值为10，绿色正弦波信号幅值为1，频率为1KHz的信号，黑色信号为白噪声信号。
图 1‑5 为上面三个信号相加得到的结果，1KHz正弦波和白噪声为噪声信号，下面使用FIR滤波器将噪声滤掉。
图 3‑3使用FIR滤波器设计 图 1‑6 使用了matlab中的滤波器设计模块进行设计，设计的采样频率为10K，截至频率为10HZ，阶数为100，得到了上图的结果，最后将它生成为代码，进行程序的编写。 图 3‑4滤波前傅里叶变换 图 3-4可以看出，改信号中包含了10Hz、1KHz以及白噪声的幅值谱。
图 3-5 可以看出通过滤波器后得到了一个较好的正弦波信号。
图 3‑6滤波后傅里叶变换 图 3-6 可以明显的看出幅值谱已经没有了频率为1K的成分，已经为滤波器滤掉。 clear; close all; clc; f1=10;f2=300; %原始信号频率 fs=10000; %采样频率 Ns=10000; %采样点数 t=0:1/fs:Ns/fs; s1=10*sin(2*pi*f1*t); s2=sin(2*pi*f2*t); s3=randn(1, Ns+1);%生成一个白噪声数组 nfft=length(s3); cxn=xcorr(s3,'unbiased'); % 计算序列的自相关函数 CXk=fft(cxn,nfft); Pxx=abs(CXk); index=0:round(nfft/2-1); k=index*fs/nfft; %plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1)); plot_Pxx=(Pxx(index+1)); figure(1); subplot(211) plot(t,s1,'r',t,s2,'g',t,s3,'k'); xlim([0 5000/fs]) title('正弦信号');xlabel('t/s'); y=s1+s2+s3; set(gcf,'color','w'); subplot(212) plot(t,y); title('原始信号');xlabel('t/s'); set(gcf,'color','w'); N=4096; f=(0:N-1)*fs/N; yy=abs(fft(y,N)*2/N); figure(2); subplot(311) plot(f(1:N/2),yy(1:N/2)); title('原始信号的FFT');xlabel('f/Hz'); xlim([0 1500]); h=myfilter; ylp=filter(h,y); subplot(312) plot(t,ylp); xlim([0.2 0.8]); title('低通滤波之后的信号') xlabel('t/s'); yyy=abs(fft(ylp,N)*2/N); subplot(313) plot(f(1:N/2),yyy(1:N/2)); xlabel('f/Hz'); title('低通滤波之后的信号频谱'); xlim([0 1500]); figure(3); subplot(311) plot(t,s3); xlim([0 500/fs]) title('噪声信号');xlabel('t/s'); subplot(312);plot(k,plot_Pxx);title('间接法原始噪声信号的功率谱'); %绘制分贝形式的功率谱 subplot(313);histogram(s3,25);title('噪声直方图'); %直方图 function Hd = myfilter %MYFILTER 返回离散时间滤波器对象。 % MATLAB Code % Generated by MATLAB(R) 9.8 and DSP System Toolbox 9.10. % Generated on: 17-Sep-2022 20:01:49 % FIR Window Lowpass filter designed using the FIR1 function. % All frequency values are in Hz. Fs = 10000; % Sampling Frequency N = 100; % Order Fc = 10; % Cutoff Frequency flag = 'scale'; % Sampling Flag SidelobeAtten = 100; % Window Parameter % Create the window vector for the design algorithm. win = chebwin(N+1, SidelobeAtten); % Calculate the coefficients using the FIR1 function. b = fir1(N, Fc/(Fs/2), 'low', win, flag); Hd = dfilt.dffir(b); % [EOF] |
图 3‑2信号进行相加得到的结果
图 3‑5滤波后信号
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