对勾函数的性质及其应用

对勾函数虽然简单，但是由于其和二次函数，基本不等式之间的天然联系，使得其成为高中阶段一个经常考察，也经常使用的函数。

对勾函数：对勾函数是形如 f ( x ) = a x + b x f(x)=ax+\frac bx f(x)=ax+xb​的函数，其中 a , b > 0 a,b>0 a,b>0。

定义域： ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) (-\infty,0)\cup(0,+\infty) (−∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性：对勾函数是奇函数。 单调区间： ( − ∞ , − b a ] ,    [ b a , + ∞ ) (-\infty,-\sqrt\frac ba],\space\space[\sqrt\frac ba,+\infty) (−∞,−ab​ ​],  [ab​ ​,+∞)为单增区间； [ − b a , 0 ) ,    ( 0 , b a ) [-\sqrt\frac ba , 0),\space\space(0,\sqrt\frac ba) [−ab​ ​,0),  (0,ab​ ​)为单减区间。

只利用单调区间的定义，就可以证明。

最值性质：由于是奇函数，所以只需研究 x > 0 x>0 x>0的部分，在这部分上，在 x = b a x=\sqrt\frac ba x=ab​ ​取得最小值 2 a b 2\sqrt{ab} 2ab ​。同理 x < 0 x