频域低通滤波

从信号频谱角度来看，低频部分是信号缓慢变换的频率域，而信号的迅速变化部分所在的频率域属于高频。对图像来说，信号以及噪声的频率都处于高频部分。若要减弱噪声，需要减弱高频分量，可以采用低通滤波。

在频率域，低通滤波的输出表达式为： G ( u , v ) = H ( u , v ) F ( u , v ) G(u,v) = H(u,v)F(u,v) G(u,v)=H(u,v)F(u,v) 其中 F ( u , v ) F(u,v) F(u,v)是含噪声图像得分傅里叶变换； H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)是线性低通滤波器传递函数； G ( u , v ) G(u,v) G(u,v)是低通滤波处理后图像的傅里叶变换。对 G ( u , v ) G(u,v) G(u,v)进行傅里叶逆变换即可得到图像 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)。

常用的低通滤波有：理想低通滤波器、巴特沃兹低通滤波器、高斯低通滤波器以及梯形低通滤波器等。

1.理想低通滤波器

理想低通滤波器的传递函数定义为 H ( u , v ) = { 1 , D ( u , v ) ≤ D 0 0 , D ( u , v ) > D 0 H(u,v)=\left\{ \begin{aligned} 1, \quad D(u,v) \leq D_{0} \\ 0, \quad D(u,v) > D_{0} \end{aligned} \right. H(u,v)={1,D(u,v)≤D0​0,D(u,v)>D0​​ D 0 D_{0} D0​为理想低通滤波器的截止频率，设定的非负的量； D ( u , v ) D(u,v) D(u,v)为频率点 ( u , v ) (u,v) (u,v)到频率平面原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的距离，即 D ( u , v ) = u 2 + v 2 D(u,v) = \sqrt{u^{2}+v^{2}} D(u,v)=u2+v2 ​ 随着所选截止频率 D 0 D_{0} D0​的不同，会发生不同程度的振铃现象（输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，就好像钟被敲击后产生的空气震荡），使得经滤波器后的图像变模糊了，截止频率越底，消除噪声越彻底，但高频分量损失越严重，图像就越模糊。

2.巴特沃兹低通滤波器

巴特沃兹低通滤波器又称最大平坦滤波器，它的通带和阻带没有明显的不连续性，它的通带和阻带之间有一个平滑的过渡带。一个n阶巴特沃兹低通滤波器的传递函数 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)为 H ( u , v ) = 1 1 + [ D ( u , v ) D 0 ] 2 n H(u,v) = \frac{1}{1+[\frac{D(u,v)}{D_{0}}]^{2n}} H(u,v)=1+[D0​D(u,v)​]2n1​ 通常把 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)下降到某一值的那个频率点定为截止频率 D 0 D_{0} D0​。在上式中把 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)下降到原来值得 1 2 \frac{1}{2} 21​时得 D ( u , v ) D(u,v) D(u,v)定义为截止频率 D 0 D_{0} D0​。一般情况下常常采用把 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)下降到其最大值的 1 2 \frac{1}{\sqrt{2}} 2 ​1​时的 D ( u , v ) D(u,v) D(u,v)定义为截止频率 D 0 D_{0} D0​,则此时的表达式为： H ( u , v ) = 1 1 + ( 2 − 1 ) [ D ( u , v ) D 0 ] 2 n H(u,v) = \frac{1}{1+(\sqrt{2}-1)[\frac{D(u,v)}{D_{0}}]^{2n}} H(u,v)=1+(2 ​−1)[D0​D(u,v)​]2n1​ 可以根据需要来设置截止频率，并修改 H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)的表达式以满足需要。巴特沃兹低通滤波器处理的图像将不会有振铃现象。

3.高斯低通滤波器

高斯函数的傅里叶变换和反变换都是高斯函数，所以常常用来寻找空间域与频率域之间的联系，所以基于高斯函数的滤波具有特殊的重要意义。一个二维的高斯低通滤波器的传递函数定义为 H ( u , v ) = e − D 2 ( u , v ) 2 σ 2 H(u,v) = e^{-\frac{D^{2}(u,v)}{2\sigma^{2}}} H(u,v)=e−2σ2D2(u,v)​ D ( u , v ) D(u,v) D(u,v)为频率平面上点 ( u , v ) (u,v) (u,v)到频率平面原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)的距离； σ \sigma σ表示高斯曲线的扩展的程度。当 σ = D 0 \sigma=D_{0} σ=D0​时，可得到高斯低通滤波器的一种更为标准的形式 H ( u , v ) = e − D 2 ( u , v ) 2 D 0 2 H(u,v) = e^{-\frac{D^{2}(u,v)}{2D_{0}^{2}}} H(u,v)=e−2D02​D2(u,v)​ D 0 D_{0} D0​是截止频率； D ( u , v ) = D 0 D(u,v)=D_{0} D(u,v)=D0​时， H ( u , v ) H(u,v) H(u,v)下降到其最大值处。高斯低通滤波器没有振铃现象。另外在需要严格控制低频和高频之间截止频率过渡的情况下， 选择高斯低通滤波器更合适一些。

4.梯形低通滤波器

梯形低通滤波器的传递函数定义为 H ( u , v ) = { 1 , D ( u , v ) < D 0 D ( u , v ) − D 1 D 0 − D 1 , D 0 ≤ D ( u , v ) ≤ D 1 0 , D ( u , v ) > D 1 H(u,v)=\left\{ \begin{aligned} &1, \quad D(u,v) < D_{0} \\ &\frac{D(u,v) - D_{1}}{D_{0}-D{1}}, \quad D_{0} \leq D(u,v) \leq D_{1} \\ &0, \quad D(u,v) > D_{1} \end{aligned} \right. H(u,v)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​​1,D(u,v)D1​​ D 0 D_{0} D0​为截至频率； D 1 D_{1} D1​可任选，但必须大于 D 0 D_{0} D0​。

梯形低通滤波器滤波后的图像既有一定的模糊，也存在一定的振铃现象。

参考：《数字图像与视频处理》- 卢官明　唐贵进　崔子冠　编著