福建省福州市五校联考2022

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福州市五校2022-2023学年第二学期期中考试高二年级数学试卷满分150分；考试 时间120分钟一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D.2.已知直线，，则下列结论正确的是（ ）A.直线过定点 B.当时，C.当时， D.当时，两直线之间的距离为3.已知是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（ ）A. B.2 C. D.34.四棱锥中，底面是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）A.1 B. C. D.25.从0，1，2，3，4，5，6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数，这样的四位数的个数有（ ）A.260 B.240 C.220 D.2006.已知函数的导函数是，若，则下列结论正确的是（ ）A. B.在上单调递减C.为函数的极大值点 D.曲线在处切线为7.已知是双曲线的左 右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C.2 D.8.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ）A. B. C. D.二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.等差数列中，为的前n项和，则下列结论正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，且，则取得最大值时，或D.必为等差数列10.椭圆的左右两焦点分别为，点P为椭圆上的一点，点P与原点O连线与椭圆交于Q，则下列结论正确的是（ ）A.若轴，则 B.四边形周长为8C.点P到点最小距离为1 D.至少存在一点P使11.抛物线焦点为F，下列结论正确的是（ ）A.过焦点F的直线交抛物线于A，B，若，则弦AB中点到y轴距离为4B.A，B，C为抛物线上三点，若F是的重心，则的值为6C.若P为抛物线上一点，，则D.若，P为抛物线上一点，则的最小值为512.已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（ ）A.B.当时，C.D.不等式解集为三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）13.直线的方向向量坐标可以是____________（只需写出一个满足条件的一个向量）14.五个学生（含甲 乙 丙）排成一排，甲与乙必须相邻，甲与丙不能相邻，则不同的排法种数有______.（用数字作答）15.直线与曲线恰有2个公共点，则实数a的取值范围为______.16.法国数学家拉格朗日于1778年在共著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下两个条件：①其图象在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数.则在区间上至少存在一个数c，使得，其中c称为拉格朗日中值.函数在区间上的拉格朗日中值______.四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知圆C经过点，和直线相切，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.18.（本题满分12分）（1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其展开式中含项的系数.（2）已知.分别求①；②的值.19.（本题满分12分）已知在公差不为零的等差数列中，，是与的等比中项，数列的前n项和为，满足（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和.20.（本题满分12分）在四棱锥中，侧面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，，，，.（1）求证：平面PBD；（2）求直线AP与平面PDB所成角的正弦值；（3）侧棱PC上是否存在异于端点的一点E，使得二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由.21.（本题满分12分）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值；（3）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆过点，分别为椭圆C的左 右焦点，且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点M，N是椭圆C上与点P不重合的两点，且以MN为直径的圆过点P，若直线MN过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.2022-2023学年第二学期期中考试高二年级数学试卷答案及解析一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】D【解析】直线斜率为，设倾斜角为，则，故选D.2.【答案】B【解析】不管为何值，当时，，所以直线过定点，故A错误；当时，有，得，故B正确；当时，有，，得或，但时，与重合，舍去，当时，，故C错误；结合选项知当时，，所以直线，所以两平行线间的距离为，故D错误.故选B.3.【答案】B【解析】设公比为，由已知可知公比不为，，又，得，故选B.4.【答案】B【解析】因.所以，所以，所以，解得，所以，故选B.5.【答案】C【解析】被5整除，个位为0或5，①个位为；②个位为，，所以这样的四位数的个数有220个，故选C.6.【答案】D【解析】由，令，得，A错误；，令，得或在和上单调递减，B错误；，当，当，所以，函数的极小值点，错误；由，曲线在处切线为，即，故选D7.【答案】C【解析】由题意，，设一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为.设关于渐近线的对称点为与渐近线交于，为的中点，又0是的中点，，为直角三角形，由勾股定理得，.故选C8.【答案】D【解析】，由且由极小值点判断知数列是首项，公差为的等差数列，，故，故选D.二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.【答案】AD【解析】由数列为等差数列.若，则，A正确；，B错误；，且，则，则取得最大值时，或，C错误；由，则，可证是等差数列，D正确；故选AD.10.【答案】BC【解析】由已知，，若轴，可得，，错误；四边形为平行四边形，周长为，B正确；点到点.最小距离为正确；当点为短轴端点时，最大，在中，，则，故，所以椭圆上不存在点使，D错误.故选BC.11.【答案】BC【解析】A：分别过点作抛物线准线垂线，垂足分别为，则，中点到准线的距离为中点到轴距离为，错误；B：三点坐标为，由是的重心，则，又，由抛物线焦半径公式得：，正确；：设，，正确；过作抛物线准线垂线，当点为垂线与抛物线交点时，取最小值，最小值为.错误.故选..12.【答案】CD【解析】设.，由函数为奇函数，则为偶函数，又，由已知可知，当.为增函数，结合.为偶函数，则当为减函数.由，则，则，故A错误；只有当.时，才有，当时，.不恒成立，B错误；.为偶函数，，.正确.由.得，，故由，有或，结合图象，得其解集为正确.故选CD.三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】或与其共线的非零向量均可.14.【答案】36【解析】①甲 乙相邻，与丙都不相邻，甲 乙捆绑，除甲 乙 丙其余两人排列，两人旁边空档3个，由甲 乙捆绑看成一体与丙插空，甲 乙两人排列，故；②甲 乙相邻，乙与丙相邻，甲 乙 丙三人可以“甲乙丙”及“丙乙甲”看成整体，与其余两人排列，，则不同排法为.15.【答案】【解析】由曲线得，当时；当时；直线恒过点，所以直线与曲线的图象如图所示.当直线与相切时，此时，得，解得，当直线与平行时，，直线与曲线要恰有2个公共点，可得，故答案为：.16.【答案】【解析】，则由拉格朗日中值的定义可知，函数.在区间上的拉格朗日中值满足，，所以，所以，则，故答案为：四 解答题（本大题共6小题，共70分）17.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设圆心的坐标为，则化简，得，解得，半径.圆的方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意得，解得直线的方程为..综上所述，所求的直线方程为或18.【答案】（1）-2500；（2）①-2；②40.【解析】（1）由，所有二项式系数和为，，，展开式中含项的系数是-2500.（2）①令，得…①令，得…②，①+②，得，令，得，则，②求即求展开式中含项的系数，，所以展开式中含.项的系数是，即，19.【答案】（1）.（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由是与的等比中项，得，当时，.当时，，两式相减，得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，（2）由，则，①，②①-②得，-所以20.【答案】（1）见解答；（2）（3）.【解答】（1）证明：因为侧面底面，平面平面平面，所以底面，所以.，又因为，即，证法一：以为原点，为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则所以所以，所以.由底面，可得，又因为，且，所以平面.证法二：取中点，易证四边形为正方形，，则.由底面，可得，又因为，且，所以平面.（2）由（1）知平面的一个法向量，设直线.与平面所成的角为，所以.（3）假设满足条件点存在，设，因为，设，则，得，即设平面的一个法向量为，，令，得即平面的一个法向量为，设二面角的平面角为二面角，其角为锐角，得或（舍去）所以侧棱上是否存在异于端点的一点，使得二面角的余弦值为，此时.21.【答案】（1）；（2）函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，（3）【解析】（1），切线斜率，切点，切线方程为，即；（2），定义域为，由，令，得或，1 2+ 0 - 0 +函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，分（3），即，即在上恒成立，则记，令当时，单调递增，当时，单调递减，则，故，所以的取值范围是-22.【答案】（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线恒过定点.【解答】（1）由，可得，所以，由点在椭圆上，可得，故，所以椭圆的标准方程为.-（2）设，若直线与轴不垂直，设直线的方程为.将直线的方程代入，消去得.由，得，所以，因为以为直径的圆过点，所以整理得..因为点不在直线上，所以，所以，所以，于是直线的方程为，所以直线恒过点若直线与轴垂直，设直线的方程为，则，所以所以，此时直线经过点.综上可得，直线恒过定点.

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