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现象观察——看一看

测试实验电路如图 2-20 所示，分别测试在开关 S1 闭合、S2断开时构成的 RL 串联电路，在开关 S1断开，S2闭合时的 RC 串联电路和在开关 S1、S2都断开时构成的 RLC 串联电路的总电压与各分电压的关系（R=200Ω，C=0.1μF，L=30mH，f=500Hz，U=3Ⅴ）。利用图（b）所示电路观察对应状态的总电压与总电流的相位关系，特别是 RLC 串联电路，在改变电源的频率时找到UR出现最大值及其前后的波形变化。

图 2-20 串联测试电路

知识链接——学一学

实际电路一般可看成由几种理想电路元件组成，RLC 的串联电路是一种典型电路，其中的一些概念和结论可用于各种复杂的交流电路，而单一参数电路、RC 串联电路、RL 串联电路则可看成是它的特例。

1. RLC 串联正弦交流电路中的电压与电流关系

电阻R、电感L、电容C 串联电路如图 2-21（a）所示。电路各元件流过同一电流，图中标出了电流与各元件电压的正方向。设电流瞬时值表达式为 i=Imsinωt，根据基尔霍夫电压定律，u=uR+uL+uC。

图 2-21 RLC 串联电路

（1）相量图分析法

RLC 串联电路，外加电压的有效值U可以用uR、uL、uC的相量和求得，作出相量合成图如图 2-21（b）所示，或简化成图 2-21（c）的形式。

由相量合成图得：

由电阻电路、电感电路、电容电路的电压与电流关系及相量合成图得：

令 Z = R2 +（X 2L −XC） ，称 Z 为电路的阻抗，单位也是欧姆（Ω），则

图 2-21（b）中所示加载中...与加载中...的夹角 ϕ，即为总电压u与电流i之间的相位差。由相量图可得：

图 2-21（c）表征了总电压与有功电压、无功电压之间关系，这个三角形称为电压三角形。

如果把电压三角形的各边同除以电流相量即得到表征电路阻抗与电阻、电抗之间关系的三角形，称为阻抗三角形，如图 2-22 所示。

图 2-22 阻抗三角形

复阻抗的阻抗角 ϕ 即为电压与电流的相位差 ϕ。求出了复阻抗的阻抗角，就求得了该电路电压与电流的相位差 ϕ。在电流频率一定时，电压与电流的大小关系、相位关系、电路性质完全由负载的电路参数决定。下面对阻抗角 ϕ 进行讨论。

① 如果 XL＞XC，即 UL＞UC，则 ϕ＞0°，电压 u 超前于电流 i 角度 ϕ，电感的作用大于电容的作用，电路呈电感性，如图 2-21（b）所示。

② 如果 XL＜XC，即 UL＜UC，则 ϕ＜0°，电压 u 滞后于电流 i 角度 ϕ，电容的作用大于电感的作用，电路呈电容性，如图 2-23（a）所示。

图 2-23 电容性与电阻性电路的相量图

③ 如果 XL=XC，即 UL=UC，则 ϕ=0，电压 u 与电流 i 同相位，电感电压 uL与电容电压 uC正好平衡，互相抵消，电路呈电阻性，如图 2-23（b）所示。

应注意：在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，首先要有相位的概念。在串联电路中，电源电压相量等于各参数上的电压相量之和，而电源电压的有效值不等于各参数上的电压有效值之和，即U≠UR+UL+UC。

（2）相量运算分析法

设电流瞬时值表示式为i=Imsinωt ，相量表示式为I˙=I∠0o。

若uR、uL、uC用相量表示，则

将加载中...代入上式中得：

式中，X =X L−X C =ωL−加载中...，称为电抗，是感抗与容抗之差，单位是欧姆（Ω）。Z=R+j（XL−XC）=R+jX=Z ∠ϕ，称为复阻抗，是复数，其单位也是欧姆（Ω）。所以加载中...也可表示为：

加载中...表达式与直流电路中的欧姆定律U=RI有相似的形式，称之为正弦交流电路的欧姆定律的相量形式，它既表达了电路中电压与电流的有效值之间的关系，也反映出了电压与电流的相位关系。

由图 2-22 所示的阻抗三角形得：R= Z cosϕ，X = Z sinϕ。

2. RLC 串联正弦交流电路中的功率和能量转换

在分析单一元件的交流电路时，已知电阻元件消耗电能，电感、电容元件不消耗电能，仅与电源间进行能量交换。下面以 RLC 串联电路为例，分析正弦交流电路能量交换的情况及能量计算关系式。

（1）平均功率（也称为有功功率，简称为功率）

在 RLC 串联电路中，仍然只有电阻消耗功率，所以电路的平均功率为：

P=I 2R=I（IR）=IUR

由电压三角形得UR=Ucosϕ，则

某一电路的平均功率大小表示了这个电路消耗功率的大小，如 60W 灯泡是指灯泡的平均功率为 60W。

式（2.31）中 cosϕ 称为功率因数，ϕ 角又称为功率因数角。因为 −90°≤ϕ≤90°，所以 0≤cosϕ≤1，有功功率一般小于电压和电流有效值的乘积UI。