瑞利衰落信道思考

第一章 瑞利衰落信道思考

写这篇笔记是因为最近在仿真MIMO多天线系统下通信和雷达传输波形。 正好之前看了一篇有关QPSK传输的MIMO通信误码率仿真，里面附有仿真的matlab代码，所以我就先从这个代码看起， 代码里面有一段关于信道矩阵的设计，是这样写的

其中L和K分别是接收端和发射端的天线数目 H信道矩阵中的每一项都设置成了复数，且实部和虚部分别是独立同分布的0均值0.5方差的高斯变量。 这样的设计我之前也在其他的一些文献中看到过，不过到底是为什么这样设计的呢，为什么是高斯变量呢？

瑞利分布是一个均值为0，方差为σ²的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是瑞利分布。其表达式及概率密度如图所示。瑞利分布是最常见的用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统计时变特性的一种分布类型。两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。 瑞利衰落能有效描述存在能够大量散射无线电信号的障碍物的无线传播环境。若传播环境中存在足够多的散射，则冲激信号到达接收机后表现为大量统计独立的随机变量的叠加，根据中心极限定理，则这一无线信道的冲激响应将是一个高斯过程。如果这一散射信道中不存在主要的信号分量，通常这一条件是指不存在直射信号（LoS），则这一过程的均值为0，且相位服从0 到2π的均匀分布。即，信道响应的能量或包络服从瑞利分布。若信道中存在一主要分量，例如直射信号（LoS），则信道响应的包络服从莱斯分布，对应的信道模型为莱斯衰落信道。(以上来自百度百科)

我参考了一篇文章 瑞利、莱斯与Nakagami-m信道衰落模型 这篇文章对于瑞利衰落对信号的影响讲的比较好 通过文章的分析我们可以知道 瑞利衰落信道指的是一个信号经过这样的衰落之后，其幅值会乘以一个满足瑞利分布的随机变量，而相位会引入一个（0,2pi]的均匀分布随机变量。而这个是信号为实值时的情况。但是我们通常在matlab仿真中，用的很多都是复值信道，分为I路和Q路，那这个时候信道怎么通过代码表示出来呢？ 百度百科里写道“则冲激信号到达接收机后表现为大量统计独立的随机变量的叠加，根据中心极限定理，则这一无线信道的冲激响应将是一个高斯过程”，也就是我们一开始就提到的利用了两个高斯变量来表示了瑞利衰落信道，但这是为什么呢？百科提到是用中心极限定理的，但这样说明不够直观

我们设置发出的信号为 I cos ⁡ w t + Q sin ⁡ w t I\cos wt + Q\sin wt Icoswt+Qsinwt 这样在matlab里面可以简易地表示成I+Qj 发出的实值信号又可以表示为 I cos ⁡ w t + Q sin ⁡ w t = A cos ⁡ ( w t + φ ) I\cos wt + Q\sin wt = A\cos (wt + \varphi ) Icoswt+Qsinwt=Acos(wt+φ) 我们不妨将A设置为1 那么发出的信号通过瑞利信道之后就变成了 V cos ⁡ ( w t + φ + φ 2 ) V\cos (wt + \varphi + {\varphi _2}) Vcos(wt+φ+φ2​) 其中V代表的是满足瑞利分布的随机变量，而 φ 2 \varphi_2 φ2​则是满足均匀分布的随机变量。 在matlab仿真里面信号通过信道之后接收方接收到的即为 ( a + b j ) ( I + Q j ) = a I − b Q + ( a Q + b I ) j (a + bj)(I + Qj) = aI - bQ + (aQ + bI)j (a+bj)(I+Qj)=aI−bQ+(aQ+bI)j 我们现在要证明的就是 a I − b Q + ( a Q + b I ) j aI-bQ + (aQ + bI)j aI−bQ+(aQ+bI)j这一项与实值信号 V cos ⁡ ( w t + φ + φ 2 ) V\cos (wt + \varphi + {\varphi _2}) Vcos(wt+φ+φ2​)是等价的 我们将实值信号拆分开来 V cos ⁡ ( w t + φ + φ 2 ) = V cos ⁡ w t cos ⁡ ( φ + φ 2 ) − V sin ⁡ w t sin ⁡ ( φ + φ 2 ) V\cos (wt + \varphi + {\varphi _2}) = V\cos wt\cos (\varphi + {\varphi _2}) - V\sin wt\sin (\varphi + {\varphi _2}) Vcos(wt+φ+φ2​)=Vcoswtcos(φ+φ2​)−Vsinwtsin(φ+φ2​) 而实际上 V cos ⁡ ( φ + φ 2 ) V\cos (\varphi + {\varphi _2}) Vcos(φ+φ2​)代表的就是接收方接收到的I路信号， V sin ⁡ ( φ + φ 2 ) V\sin (\varphi + {\varphi _2}) Vsin(φ+φ2​)代表的就是接收方接收到的Q路信号 I路信号可以表示为 V cos ⁡ ( φ + φ 2 ) = V cos ⁡ φ cos ⁡ φ 2 − V sin ⁡ φ sin ⁡ φ 2 V\cos (\varphi + {\varphi _2}) = V\cos \varphi \cos {\varphi _2} - V\sin \varphi \sin {\varphi _2} Vcos(φ+φ2​)=Vcosφcosφ2​−Vsinφsinφ2​ 而 cos ⁡ φ \cos\varphi cosφ就是原本发射的I,也就是matlab中的I,所以我们只要证明 V cos ⁡ φ 2 V\cos\varphi_2 Vcosφ2​与matlab中的a是等价的即可(其余的几项也可以通过这样说明,比如 V sin ⁡ φ 2 V\sin\varphi_2 Vsinφ2​与b等价即可,同样Q路信号也可以拆出来,会发现要证明的还是 V cos ⁡ φ 2 V\cos\varphi_2 Vcosφ2​与matlab中的a等价， V sin ⁡ φ 2 V\sin\varphi_2 Vsinφ2​与b等价)。 下面我们就来证明 V cos ⁡ φ 2 V\cos\varphi_2 Vcosφ2​与matlab中的a是等价的即可 matlab中的a是一个均值为0,方差为sigma的高斯变量 而V是参数为sigma的瑞利分布随机变量, φ 2 \varphi_2 φ2​是满足均匀分布的随机变量 所以只要证明一个参数为sigma的瑞利分布随机变量乘上一个独立的(0,2pi)均匀分布的随机变量,这个联合随机变量的分布与均值为0,方差为sigma的高斯变量分布相同即可｡ 只要证明了这个，我们就能够说明matlab仿真中H信道实值和虚值设置成两个独立同分布的高斯随机变量就是与实际情况中的瑞利衰落信道等价 关于这段证明我写了一个matlab的仿真程序